Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 8 из 12)

.

Замінимо під знаком суми вираження

через . Тому що для всіх членів суми , то від такої заміни сума теж може тільки зменшитися, значить:

.

Але відповідно до формули

сума, що коштує в правій частині цієї нерівності є не що інше, як імовірність влучення випадкової крапки зовні відрізка , отже , звідки безпосередньо випливає доказувана нерівність.

2. У випадку коли величина

безперервна, доказ проводиться аналогічним образом із заміною ймовірностей елементом імовірності, а кінцевих сум – інтегралами. Дійсно,

,

де

– щільність розподілу величини . Далі, маємо:

,

звідки й випливає нерівність Чебишева для безперервних величин.

Що й було потрібно довести.

Як наслідок зі своєї нерівності Чебишев одержує наступну теорему.

Теорема.

Якщо математичні очікування величин

не перевершують якої-небудь кінцевої межі, то ймовірність, що середнє арифметичне N таких величин від середніх арифметичних їхніх математичних очікувань відрізняється менш чим на яку-небудь дану величину, зі зростанням числа N до , приводиться до одиниці.

Доказ.

Дійсно, розглянемо випадкову величину

, що представляє собою середню арифметичну з даних випадкових величин.

; ;

.

Якщо обмежені математичні очікування випадкових величин і їхніх квадратів, то обмежені також і дисперсії, тобто Всі

, де c-деяке число. Тоді

.

Застосуємо тепер нерівність Чебишева до

:

, або

.

Переходячи до межі, одержуємо:

.

Що й було потрібно довести.

Це і є теорема Чебишева – закон більших чисел Чебишева. Ця теорема встановлює, що при досить більших n з імовірністю, близької до одиниці, можна думати, що середнє арифметичне випадкових величин як завгодно мало коливається біля деякого постійного числа-середніх їхніх математичних очікувань.

Теореми Пуассона й Бернуллі є окремими випадками закону більших чисел Чебишева.

Дійсно, нехай в n випробуваннях, подія A наступає з ймовірностями

й не наступає з ймовірностями . Розглянемо випадкову величину – число настань події A в i-ом випробуванні. Тоді

; ; ,

задовольняє умовам теореми Чебишева, тобто

, або

,

де -

середнє арифметичне з ймовірностей настань подій в окремих випробуваннях. А це і є теорема Пуассона.

Якщо всі

, те й , і ми одержимо теорему Бернуллі:

.

Цікаво, що Чебишев не називав доведену теорему «законом більших чисел», хоча теорема Пуассона виходить із її як окремий випадок.

Знаючи, що теорема Бернуллі є часткою случаємо теореми Чебишева спробуємо довести її як прямий наслідок закону більших чисел Чебишева (тобто приведемо сучасний доказ теореми Бернуллі [3]). Повторимо сучасне формулювання теореми Бернуллі.

Теорема.

Нехай виробляється n незалежних досвідів. Якщо ймовірність настання події A у послідовності незалежних випробувань постійна й дорівнює p, те, яке б не було позитивне число

, з імовірністю як завгодно близької до одиниці, можна затверджувати, що при досить великій кількості випробувань n різниця по абсолютній величині виявиться меншої, чим :

,

де -

будь-яке мале число.

Доказ.

Розглянемо незалежні випадкові величини:

-

число появ події A у першому досвіді;

-

число появ події A у другому досвіді, і т.д.

Всі ці величини переривані й мають той самий закон розподілу, що виражається поруч виду:

0	1
q	p

так як подія A наступає з імовірністю p і не наступає з імовірністю q

. Обчислимо математичне очікування кожної з величин :

,

дисперсію:

.

задовольняють умовам теореми Чебишева, тобто можемо застосувати нерівність Чебишева:

.

Так як

, , а ,

то одержуємо вираження:

.

Звідси й треба справедливість доказуваної нерівності:

,

де -

мале число при .

Чте й було потрібно довести.

3.4 Закон більших чисел для залежних випадкових величин

А.А. Марков під цим законом розумів закон, «у силу якого з імовірністю, як завгодно близької до вірогідності, можна затверджувати, що середнє арифметичне з декількох величин, при досить великій кількості цих величин, буде довільно мало відрізнятися від середніх арифметичних їхніх математичних очікувань». При такому розумінні закону більших чисел і теорема Бернуллі й теорема Пуассона й теорема Чебишева будуть його різними формами. Таке розуміння тепер загальноприйняте.

Чебишев поширив закон більших чисел на незалежні випадкові величини з рівномірно обмеженими дисперсіями:

.

Марков розширив умови застосовності цього закону. У роботі «Поширення закону більших чисел на величини, що залежать друг від друга» Марков привів наступну теорему [1,6].