Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 7 из 12)

Тепер цю теорему записують так:

Якщо ж імовірність настання події не буде змінюватися від випробування до випробування, то

=p, і теорема Пуассона в цьому випадку переходить у теорему Я. Бернуллі, що, таким чином, є часткою случаємо теореми Пуассона.

3.3 Нерівність Чебишева. Закон більших чисел у формі Чебишева

17.12.1866 р. Чебишев доповів Академії наук свою роботу «Про середні величини», що була опублікована в 1867 р. В «Математичному збірнику». У цій роботі Чебишев довів одну важливу нерівність, що тепер називається нерівністю Чебишева. За допомогою цієї нерівності Чебишев одержав теорему, з якої як наслідки виходять теореми Бернуллі й Пуассона. На початку роботи «Про середні величини» Чебишев доводить теорему [1,6].

Теорема.

Якщо математичне очікування величин x, y, z,... суть a, b, c,...,

а математичне очікування квадратів

, , ,…суть , , ,…,те ймовірність, що сума x+y+z+... полягає в межах

,

,

при всякому значенні

залишається більше .

Далі Чебишев переходить до наступної теореми.

Якщо ми зобразимо через N число величин x, y, z,…,u,думаючи в доведеній зараз теоремі

, розділимо на N як суму x+y+z+…,так і межі її

,

,

те із цієї теореми одержимо наступну щодо середніх величин.

Теорема.

Якщо математичне очікування величин

x, y, z,…,

, , ,…суть a, b, c,…, , , ,…,те ймовірність, що середнє арифметичне N величин x, y, z,…,від середнього арифметичного математичних очікувань цих величин відрізняється не більше як на при всякому значенні, буде перевершувати .

Це і є знаменита нерівність Чебишева, що у сучасній формі записується в такий спосіб:

,

де випадкова величина x має кінцеву дисперсію

, а - будь-яка відмінна від нуля позитивна величина.

Дійсно, першу теорему Чебишева можна записати так:

Застосуємо цю теорему до випадкової величини x:

.

Але

,

,

, .

Нехай

, тоді й одержуємо звичну формулу для нерівності Чебишева

.

Сформулюємо відповідну теорему й доведемо в ній ця нерівність.

Теорема.

Нехай є випадкова величина

з математичним очікуванням і дисперсією .

Нерівність Чебишева затверджує, що, яке б не було позитивне число

, імовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на , обмежена зверху величиною :

.

Доказ.

1. Нехай величина

дискретна, з поруч розподілу

Зобразимо можливі значення величини

і її математичне очікування у вигляді крапок на числовій осі Ox.

Задамося деяким значенням

і обчислимо ймовірність того, що величина відхилиться від свого математичного очікування не менше ніж на : .

Для цього відкладемо від крапки

вправо й уліво по відрізку довжиною ; одержимо відрізок . Імовірність є не що інше, як імовірність того, що випадкова крапка потрапить не усередину відрізка , а зовні його (кінці відрізка ми в нього не включаємо): .

Для того щоб знайти цю ймовірність, потрібно підсумувати імовірності всіх тих значень

, які лежать поза відрізком . Це ми запишемо в такий спосіб:

, де запис під знаком суми означає, що підсумовування поширюється на всі ті значення , для яких крапки лежать поза відрізком .

З іншого боку, напишемо вираження дисперсії величини

по визначенню:

.

Тому що всі члени суми

ненегативні, вона може тільки зменшитися, якщо ми поширимо її не на всі значення , а тільки на деякі, зокрема на ті, які лежать поза відрізком :