Кількість співмножників у чисельнику й знаменнику дорівнює n. Внаслідок чого ці відносини будуть нескінченними ступенями виражень:

і

й тому нескінченно більшими.
Таким чином, ми з'ясували, що в нескінченно високому ступені двочлена відношення найбільшого члена до іншим L і

перевершує всяке задане відношення.

и.

Що й було потрібно довести.
Лема 5.
Відношення суми всіх членів від L до

до всім іншим зі збільшенням
n може бути зроблене більше всякого заданого числа.
Доказ.
M – найбільший член розкладання.
Нехай сусідні з ним ліворуч будуть F, G, H,…;
нехай сусідні з L ліворуч будуть P, Q, R,…...
На підставі леми 3 маємо:
< 
;

<

;

<

, …або

<

<

<

<…...
Тому що по лемі 4, при n нескінченно великому, відношення

нескінченно, те тим більше будуть нескінченними відносини

,

,

,…,і тому відношення

також нескінченно, тобто сума членів між найбільшим
M і межею
L нескінченно більше суми такого ж числа членів за межею
L і найбільше до нього близьких. І тому що число всіх членів за межею
L перевищує, по лемі 1, не більш ніж в
s-1 раз (тобто кінцеве число раз) число членів між цією межею й найбільшим членом
M, а самі члени робляться тим менше, ніж далі вони відстоять від межі, по першій частині леми 3, то сума всіх членів між
M і
L (навіть не вважаючи
M) буде нескінченно більше сум всіх членів за межею
L. Аналогічне твердження можна довести щодо членів між
M і

. Обоє ці твердження й доводять лему.
Що й було потрібно довести.
Головна пропозиція.
Нехай число добрих нагод ставиться до числа несприятливих точно або приблизно, як r до s, або до числа всіх випадків, як r до r+s або r до t, це відношення полягає в межах

і

. Потрібно довести, що можна взяти стільки досвідів, щоб у яке завгодно дане число раз (
c раз) було ймовірніше, що число сприятливих спостережень потрапить у ці межі, а не поза ними, тобто відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх буде не більш ніж

і не менш

.
Доказ.
Нехай число необхідних спостережень буде nt. Імовірність того що всі спостереження будуть сприятливі, дорівнює

,
що все крім одного

,
крім двох

і т.д.
А це є члени розкладання (r+s) у ступені nt (ділені на

), які досліджувалися в минулих лемах. Всі подальші висновки ґрунтуються на доведених лемах. Число випадків з
ns несприятливими спостереженнями й
nr сприятливими дає член
M. Число випадків, при яких буде
nr+n або
nr-n сприятливих спостережень, виражається членами
L і

, що відстоять на
n членів від
M. Отже, число випадків, для яких сприятливих спостережень виявиться не більше
nr+n і не менш
nr-n, буде виражатися сумою членів, укладених між
L і

. Загальне ж число випадків, для яких сприятливих спостережень буде або більше
nr+n або менше
nr-n, виражається сумою членів, що стоять лівіше
L і правіше

.
Тому що ступінь двочлена може бути взята настільки більша, щоб сума членів, укладених між обома межами L і

перевершувала більш ніж в
c раз суму всіх інших із цих меж вихідних, по лемах 4-й і 5-й, те, отже, можна взяти настільки велика кількість спостережень, щоб число випадків, при яких відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх виявляється ув'язненим у межі

й

або

й

, перевищувало більш ніж в
c раз число інших випадків, тобто зробилося більш ніж в
c раз імовірніше, що відношення числа сприятливих спостережень до числа всіх полягає в межах

і

, а не поза цими межами.
Що й було потрібно довести.
Для порівняння дамо сучасне формулювання теореми Бернуллі.
Теорема Бернуллі.
Якщо ймовірність настання події A у послідовності незалежних випробувань постійна й дорівнює p, те, яке б не було позитивне число

, з імовірністю як завгодно близької до одиниці, можна затверджувати, що при досить великій кількості випробувань
n різниця

по абсолютній величині виявиться меншої, чим

:

,
де -

будь-яке мале число.
Ця теорема буде доведена нами пізніше (після введення нерівності Чебишева).
Завжди може трапитися, що, яким би більшим не було n, у даній серії з n випробувань

виявиться більше

. Але, відповідно до теореми Бернуллі ми можемо затверджувати, що якщо
n досить велике і якщо зроблено досить багато серій випробувань по
n випробувань у кожній серії, то в гнітючому числі серій нерівність

буде виконано.
Бернуллі вважає, що з доведеної теореми «випливає те дивне, очевидно, наслідок, що якби спостереження над всіма подіями продовжувати всю вічність (причому ймовірність, нарешті, перейшла б у повну вірогідність), те було б замічене, що все у світі управляється точними відносинами й постійним законом зміни, так, що навіть у речах, найвищою мірою випадкових, ми примушені були б визнати як би деяку необхідність і, скажу я, доля».
А.А. Марков писав, що в цій роботі Бернуллі «уперше була опублікована й доведена знаменита …теорема, що поклала початок закону більших чисел…»... Пуассон (1781–1840 р.) у своїй роботі «Дослідження про ймовірність судових вироків по карних і цивільних справах» займався граничними пропозиціями. У результаті він довів свою знамениту теорему, який дали назву «закон більших чисел» [1]. Теорема Пуассона формулювалася в такий спосіб.
Теорема.
Якщо виробляється n незалежних випробувань, результатами яких є настання або не настання події A, причому ймовірність настання події в окремих випробуваннях неоднакова, то з імовірністю, як завгодно близької до одиниці (або, інакше кажучи, – до вірогідності), можна затверджувати, що частота

настання події A буде як завгодно мало відрізнятися від середньої арифметичної

ймовірностей настання події в окремих випробуваннях.