Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 4 из 12)

2.2 Введення поняття математичного очікування і його подальший розвиток

Звернемося до роботи Х. Гюйгенса «Про розрахунок в азартних іграх». Книга складається із введення й 14 пропозицій. Розглянемо перші три пропозиції [1].

Пропозиція 1: «Якщо я маю рівні шанси одержання a або b, те це мені коштує

«.

Пропозиція 2: «Якщо я маю рівні шанси на одержання a, b або c, те це мені коштує стільки ж, як якби я мав

.

Пропозиція 3: «Якщо число випадків, у яких виходить сума a, дорівнює p і число випадків, у яких виходить сума b, дорівнює q, і всі випадки однаково легко можуть відбутися, то вартість мого очікування дорівнює

.

По суті Гюйгенс тут так визначає математичне очікування. Він фактично вперше вводить поняття математичного очікування й використовує його. Математичне очікування є узагальненням поняття середньої арифметичної. Середня арифметична широко застосовувалася в торгівлі й промисловості для визначення середніх цін, середнього прибутку й т.п.

Термінологія Гюйгенса в теорії ймовірностей несе на собі відбиток комерційної термінології. Він уважає, що математичне очікування - це ціна шансу на виграш у необразливій грі й доходить висновку, що справедлива ціна - є середня ціна. Він обчислює «за яку справедливу ціну я міг би поступитися своє місце в грі іншому». Сам Гюйгенс не називає математичне очікування очікуванням, воно в нього фігурує як вартість шансу. Уперше термін «очікування» з'являється в перекладі роботи Гюйгенса Францем ван Схоутеном.

Робота Х. Гюйгенса дуже вплинула на Я. Бернуллі. До пропозицій 1, 2 і 3 Гюйгенса Бернуллі робить велика примітка.

«Автор цього трактату викладає ...у цьому й двох наступних пропозиціях основний принцип мистецтва припущень. Тому що дуже важливо, щоб цей принцип був добре зрозумілий, то я спробую довести його за допомогою вирахувань більше звичайних і більше доступних всім, виходячи винятково з тієї аксіоми, або визначення, що кожний повинен очікувати або припускає очікувати стільки скільки він неминуче одержить.

Слово «очікування» тут не повинне розумітися в його звичайному змісті, відповідно до якого «очікувати» або «сподіватися» ставиться до події найбільш сприятливому, хоча може відбутися найгірше для нас; потрібно розуміти під цим словом надію, що ми маємо на одержання кращого, зменшеним страхом гіршого. Так що вартість нашого очікування завжди означає щось середнє між кращим, на що ми сподіваємося, і гіршим, чого ми боїмося...»

Після розгляду пропозиції 3 Бернуллі відзначає наступне: «З розгляду ...очевидно, що є велика подібність із правилом, називаним в арифметиці правилом товариства, що складається в знаходженні ціни суміші, складеної з певних кількостей різних речей з різною ціною. Або, скоріше, що обчислення є абсолютно однаковими. Так, подібно тому, як сума добутків кількостей речовин, що змішуються, на їхні відповідні ціни, розділена на суму речовин, дає шукану ціну, що завжди перебуває між крайніми цінами, також сума добутків випадків на відповідно принесені ними вигоди, розділена на число всіх випадків, указує вартість очікування, що внаслідок цього завжди є «середньою між найбільшою й найменшою із цих вигід».

Це досить гарне пояснення математичного очікування і його зв'язку зі зваженої середньої арифметичної [1].

У середині й у другій половині XVIII в. багато вчених займалися питаннями пов'язаними з теорією ймовірностей. Насамперед, це ставиться до математиків, з яких можна виділити Д. Бернуллі (1700–1778 р.). Найбільш відомою роботою Д. Бернуллі по теорії ймовірностей є «Досвід нової теорії міри випадку» (1738 р.), у якій він уводить поняття морального очікування [2]. Однак, незважаючи на те, що надалі багато вчених розробляли це поняття воно не прижилося в теорії ймовірностей. Д. Бернуллі вводить правило підрахунку математичного очікування, що він називає основним правилом: «Значення очікуваної величини виходить шляхом множення значень окремих очікуваних величин на число випадків, у яких вони можуть з'явитися, і наступного ділення суми добутків на суму всіх випадків, при цьому потрібно, щоб розглядалися ті випадки, які є рівно можливими між собою» [1, 2]. Це правило повністю відповідає визначенню математичного очікування дискретної випадкової величини.

.

Тут

- значення окремої i-ой очікуваної величини,

- число випадків у які може з'явитися i-а очікувана величина,

n-число всіх випадків.

Ми бачимо, що визначення математичного очікування дискретної випадкової величини остаточно сформувалося до середини XVIII в. і активно використовувалося при рішенні різних задач. Однак поняття математичного очікування іноді вважали недостатнім. Тому були спроби ввести поняття морального очікування (моральне очікування), що пов'язане з «вигодою, що залежить від особистих умов». Незважаючи на те, що розробкою поняття морального очікування займалися багато вчених (Д. Бернуллі, Ж.Л. Бюффон, В.Я. Буняковський, Н.Е. Зернов, Лаплас, Пуассон, Лакруа), це поняття не закріпилося в науці.

Можна зробити висновок, що поняття математичного очікування перебороло складний шлях щоб стати одним з головних і основних понять у теорії ймовірностей.

3. Закон більших чисел

3.1 Первісне осмислення статистичної закономірності

Закон більших чисел займає одне із центральних місць у теорії ймовірностей. Донедавна проблема закону більших чисел не була остаточно вирішена. Розглянемо динаміку розвитку цього закону.

Одним з перших до розуміння статистичної закономірності й закону більших чисел підійшов Кардано. Щодо свого висновку про 6 можливості одержати однакові числа окулярів на двох костях і 30 можливостях - різні, він пише: «Ціла серія ігор (36 кидків) не дає відхилення, хоча в одній грі це може трапитися..., при великій кількості ігор виявляється, що дійсність досить наближається до цього припущення» [1].

Тут Кардано затверджує, що при малій кількості спостережень частота може відхилятися досить сильно від частки, або, інакше кажучи, – від імовірності; при великій кількості випробувань це відхилення буде незначно.

3.2 Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону більших чисел

Я. Бернуллі писав: «…І що не дано вивести a priori те, принаймні, можна одержати a posteriori, тобто з багаторазового спостереження результатів...».

Бернуллі затверджує, що якщо в азартних іграх завжди можна порахувати число випадків, а самі випадки зустрічаються однаково легко, те в інших явищах у природі й суспільстві ні те ні інше не має.

«Все йдеться до того, щоб для правильного складання пропозицій про яку-небудь річ були точно обчислені як числа випадків, так і було б визначене наскільки одні випадки можуть легше зустрітися, чим інші...». Але це зовсім неможливо зробити для більшості явищ. Однак Бернуллі знайшов вихід зі сформованої ситуації. Він затверджує, що при збільшенні числа випробувань, частота появи якої-небудь події буде мало відрізнятися від імовірності появи цієї події. І чим більше число випробувань, тим менше ця відмінність. «Варто помітити, що відношення між числами випадків, які ми бажаємо визначити досвідом, розуміється не в змісті точного відношення..., але до відомого ступеня наближеного, тобто ув'язненого у двох границях, які можна взяти як завгодно тісними».

У допомогу доказу своєї теореми Бернуллі доводить ряд лем [1].

Лема 1.

Розглядаються два ряди

0, 1, 2, ..., r - 1, r, r + 1, ..., r + s;

0, 1, 2, …, nr – n, …, nr, …, nr + n, …, nr + ns

і затверджується, що зі збільшенням n росте кількість членів між nr і nr + n; nr і nr – n; nr + n і nr + ns; nr і 0. Крім того, як би велико не було n, число членів після nr + n не буде перевищувати більш ніж в s – 1 раз число членів, укладених між nr і nr + n або між nr і nr – n, а також число членів до nr – n не буде перевищувати більш ніж в r – 1 раз число членів між тими ж числами.

Доказ.

Знайдемо кількість членів між зазначеними в лемі членами розглянутих рядів. Для цього введемо позначення:

-число членів між nr і nr+n;

-число членів між nr і nr-n;