Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 2 из 12)

На AB беруться дві будь-які крапки f і b і через них C F s L D проводяться лінії, паралельні AD до перетинання з CD у крапках F і L. Після цього Байес формулює наступну лему.

Лема.

Імовірність того, що крапка O (крапка зупинки OO кулі) буде перебувати між двома якими-небудь крапками лінії AB, є відношення відстані між двома крапками до всієї лінії AB.

Інакше кажучи, імовірність того, що куля, кинута випадковим образом на ABCD, зупиниться в прямокутнику bfFL, дорівнює

. Аналогічно ми обчислюємо геометричним способом імовірність і зараз, як відношення мер.

P(A)=

, ( ) – імовірнісний простір,

-

клас або сімейство підмножин в ,

-

область в ,

P-Імовірність.

Але в Байеса не було визначення геометричної ймовірності.

Кондорсе (1743–1794 р.), відомий політичний і суспільний діяч буржуазної французької революції, займався питаннями теорії ймовірностей. У своїй роботі «Suite du Memoire sur le calcul des Probabilites» Кондорсе намагався поряд з імовірністю ввести поняття «властиво ймовірність» [1,2].

«Не слід розуміти під властиво ймовірністю події відношення числа сполучень, що мають місце, до загального числа сполучень. Наприклад, якщо з 10 карт витягає одна карта й свідок говорить, що це була саме така-те карта, те властиво ймовірність цієї події, яку потрібно зіставити з імовірністю що народжується зі свідчення, що буде

, а є ймовірність достати цю карту переважно, чим іншу яку-небудь певну карту, і тому що всі ці ймовірності однакові, те властиво ймовірність буде в цьому випадку …

У випадку, коли витягає одна з десяти карт, число сполучень, при яких витягає яка-небудь певна карта, є одиниця й число сполучень, при яких буде витягнута яка-небудь інша певна карта, теж є одиниця, виходить, властиво ймовірність виразиться –

.»

Поняття властиво ймовірності необґрунтовано. Його протиставлення поняттю ймовірності чисто суб'єктивне й математично нічим не підтверджено. Можливо саме тому в науці воно не збереглося.

До XVIII в. поняття ймовірності вже дуже активно використовувалося при рішенні різних задач.

Л. Ейлер (1707–1783 р.), досліджуючи різні лотереї, які пропонували Прусському королю Фрідріху II для поповнення скарбниці держави, користувався саме класичним визначенням імовірності.

1.2 Поява класичного визначення поняття ймовірності

П. Лаплас (1749–1827 р.) у своїх лекціях за назвою «Досвід філософії теорії ймовірностей» уводив наступне класичне визначення ймовірності: імовірність P(A) події A рівняється відношенню числа можливих результатів випробування, які сприяють події A, до числа всіх можливих результатів випробування. У цьому визначенні передбачається, що окремі можливі результати випробування рівно можливі [1,2].

Цьому визначенню ймовірності Лаплас додав суб'єктивний зміст, увівши принцип недостатності або відсутності підстав. Цей принцип полягає в тому, що якщо ймовірність події невідома, то ми для її значення призначаємо деяке число, що нам представляється розумним. У випадку, якщо ми маємо кілька подій, які становлять повну систему, але не знаємо ймовірності кожної події окремо, то ми вважаємо, що всі ці події рівно можливі.

Магістр філософії Сигізмунд (Зигизмунт) Ревковський (1807–1893 р.) в 1829/30 р. уперше в Росії став читати курс теорії ймовірностей. Імовірність він називав мірою надії, величиною надії й давав їй класичне визначення.

Н.И. Лобачевский серйозно займався теорією ймовірностей. У своїй роботі «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних» він визначає ймовірність, випливаючи Лапласові: «під словами ймовірність розуміють зміст числа добрих нагод до числа всіх випадків разом». Рівно можливість випадків, мабуть, малася на увазі Лобачевским.

Професор математики Московського університету Зернов Н.Е. (1804–1862)

у своїй мові «Теорія ймовірностей, з додатком переважно до смертності й страхування», що була видана в 1843 р., увів визначення ймовірності (

) і цікаве визначення поняття відносної ймовірності.

«Імовірність подій, розглянутих у такому виді, начебто інші події зовсім не мали місця, називається ймовірністю відносного. Відносна ймовірність якої-небудь події дорівнює частці, що пішла від ділення самостійної ймовірності тієї ж події на суму цієї останньої ймовірності й протилежної їй, також самостійної».

Це визначення супроводжується прикладом. У посудині є 3 червоних, 1 чорний, 2 білих кулі. Імовірність витягтися червона куля

; ; – це всі ймовірності самостійні. Тримають парі щодо появи білої або чорної кулі, не обертаючи уваги на червоні. Імовірність виграти парі на білій кулі – , на чорному – .

теорія ймовірність математичне очікування

Це, по Зернову, відносні ймовірності. Для них справедливі співвідношення:

; .

Навіть на цьому прикладі видно, що поняття відносної ймовірності зайво (можна розглядати, що в урні тільки 2 білих і 1 чорна куля).

Великим представником російської теорії ймовірностей був М.В. Остроградський. У своїй статті «Про страхування», опублікованої в журналі «Фінський вісник» в 1847 р., Остроградьский трактує поняття ймовірності із суб'єктивних позицій, як міру впевненості суб'єкта, що пізнає, [1].

Він докладно говорить про те, що ймовірність є міра нашого незнання, що це суб'єктивне поняття, що в імовірності в суб'єктивному світі немає ніякої відповідності, що увесь світ детерминистичен і випадкового в ньому ні, є тільки те, що ми не знаємо або не пізнали, що ми й називаємо випадковим.

«Якщо явище зовсім залежить від декількох інших явищ або випадків, з яких одні можуть його зробити, інші йому противні, і якщо притім всі ці випадки такі, що для нас, ми повторюємо, для нас, немає причини одні з них воліти іншим, то ймовірність очікуваного явища виміряється дробом, який чисельник дорівнює числу випадків, що доставляють явище, – а знаменник числу всіх випадків». Це твердження збігається з так званим класичним визначенням Лапласа із тлумаченням рівної можливості, як недостатності підстав давати перевага одним подіям перед іншими. Розглядається приклад. В урні перебуває 5 куль (3 білих і 2 чорних), з її витягає одну кулю. Яка ймовірність, що ця куля буде білим? Щодо цього приклада Остроградський пише: «П'ять куль перебувають у вазі; немає ніякої причини думати, що один з них потрапить у руку скоріше, ніж іншої. Говорячи, немає ніякої причини, розуміємо, що її немає для нас, – вона є, але зовсім нам невідома.… І як ми не можемо дати одній кулі перевага перед іншим, те всі кулі представляють для нас випадки рівно можливі. Той, хто знав би розташування куль в урні й міг би обчислити рух руки, що виймає, той сказав би наперед, який саме вийде куля, - для нього не було б імовірності.

Якби для нас, справді, не було причин вийняти такий-то куля, а не інший, тоді поява кулі бути б дійсно неможливо, як неможлива дія без причини.

Ми повторюємо, що ймовірність і однакова можливість випадків, і міра ймовірності існують тільки для нас. Для істот же всевідаючих, тобто відомості, що має всі, про всі явища, імовірність не може мати не тільки міри, але й ніякого значення.

Це висловлення є типовим висловленням у дусі механічного детермінізму, що був у той час широко розповсюджений у теорії ймовірностей.

1.3 Перші спроби введення аксіоматичного визначення поняття ймовірності

П.Л. Чебишев (1821–1894 р.) був творцем і ідейним керівником петербурзької математичної школи. Чебишев зіграв велику роль у розвитку багатьох розділів математики, у тому числі теорії ймовірностей. У своїй магістерській дисертації в першому розділі він уводить поняття ймовірності. Для цього він, насамперед, визначає рівно можливі події: «Якщо з певного числа різних подій при відомих обставинах один необхідно повинне трапитися, і немає особливої причини очікувати якого-небудь із цих подій переважно перед іншими, те такі події відрізняємо назвою випадків рівно можливих». Не можна сказати, щоб це визначення було досить чітке.

Якщо з n випадків m мають як наслідок деяка подія, то мірою ймовірності цієї події, що називають імовірним, приймають

, тобто «відношення числа рівно можливих випадків, сприятливих для події, до числа всіх рівно можливих випадків».

А.А. Марков (1856–1922 р.) був найближчим учнем і кращим виразником ідей Чебишева. У своїй роботі «Вирахування ймовірностей» Марков давав класичне визначення ймовірності, але до визначення рівної можливості («Дві події ми називаємо рівно можливими, якщо немає ніяких підстав очікувати одного з них переважно перед іншим. Кілька подій ми називаємо рівно можливими, якщо кожні два з них рівно можливі») він робив наступну примітку: «На мою думку, різні поняття визначаються не стільки словами, кожне з яких може, у свою чергу, зажадати визначення, як нашим відношенням до них, що з'ясовується поступово». Визначення поняття ймовірності виглядає так: