Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 12 из 12)
Нехай
.Тоді
, 
, 
.Легко, далі, підрахувати, що випадкові величини
, 
, не корильоване. Справді, нехай 
, тоді, знаючи, що 
, можна записати наступне: 
і, отже,
, 
.Отже,
.Таким чином, умова
, 
досить для нормальної стійкості величин 
.Таким чином, була завершена одна із центральних проблем теорії ймовірностей - проблема закону більших чисел.
Висновок
Ми простежили динаміку розвитку поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також розвиток однієї із центральних теорем-закону більших чисел. Можемо зробити наступні висновки.
Простеживши динаміку розвитку й формування поняття ймовірності можна відзначити, що воно вироблялося складними шляхами. Поняття ймовірності наділялося у визначення різних форм і змістів.
Спочатку це поняття розуміли на чисто інтуїтивному рівні. Пізніше з'явилися різні визначення поняття ймовірності. Спостерігалися спроби вводити нові поняття, наприклад «властиво ймовірність», але ці спроби не увінчалися успіхом – це поняття не збереглося в науці. Надалі виникає необхідність у більше чіткому й строгому відношенні до основних понять теорії ймовірностей, тобто й до визначення поняття ймовірності. Цього вимагало розвиток статистичної фізики; цього вимагало розвиток самої теорії ймовірностей, у якій гостро стала відчуватися незадоволеність класичного обґрунтування лапласовського типу; цього вимагало й розвиток інших наук, у яких широко застосовувалися імовірнісні поняття. Ставало всі видно, що теорія ймовірностей має потребу в новому логічному обґрунтуванні – в обґрунтуванні за допомогою аксіоматичного методу. Багато вчених уживають спроби аксіоматичного визначення поняття ймовірності. Однак успішно ця задача була вирішена на початку XX в. Колмогоровим. Аксіоматика Колмогорова сприяла тому, що теорія ймовірностей остаточно зміцнилася як повноправна математична дисципліна.
Розвиток поняття математичного очікування також зустрічало ряд труднощів. Спроби ввести поняття морального очікування, яке б усувало недоліки математичного очікування - провалилися. Це відбулося через те, що поняття морального очікування не було пов'язане з поняттям імовірності на відміну від математичного очікування. У результаті поняття «математичне очікування» зайняло міцне місце, по праву йому приналежне, у теорії ймовірностей.
Динаміку розвитку закону більших чисел можна зрівняти з ієрархічною градацією. У основі її найпростіші теореми Бернуллі й Пуассона, а на вершині - критерій застосовності закону більших чисел (необхідна й достатня умови). На відміну від понять імовірності й математичного очікування, закон більших чисел не зіштовхувався з подібними протиріччями, у своєму трактуванні. Удосконалення закону більших чисел відбувалося плавно, без різких стрибків.
Список джерел
1. Майстров Л.Е. Теорія ймовірностей. Історичний нарис. – К., 2004
2. Майстров Л.Е. Розвиток поняття ймовірності. – К., 2003
3. Вентцель Е.С. Теорія ймовірностей. – К., 2005
4. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. – К., 1999
5. Колмогоров А.Н. Основні поняття теорії ймовірностей. – К., 2005
6. Історія вітчизняної математики. – К., 2005
7. Гливенко В.И. Курс теорії ймовірностей. – К., 1997.
8. Чебишев П.Л. Повне зібрання творів – Львів, 2000
9. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Теорія ймовірностей. – К., 1999