Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 10 из 12)
те
майже вірогідно нескінченно багато разів вийде за межі цих кривих. Зобразимо схематично цю ситуацію.
Хоча Марков і розширив границі застосовності закону більших чисел, однак, остаточно це питання ще не було вирішено. Установити необхідні й достатні умови застосовності закону більших чисел удалося тільки завдяки застосуванню методів і понять теорії функцій.
В 1926 р. А.Н. Колмогоров установив ці умови у своїй роботі [5].
Визначення.
Випадкові величини
послідовності 
називаються стійкими, якщо існує така числова послідовність 
, що для будь-якого позитивного 
, 
.Якщо існують всі
і якщо можна покласти 
, то говорять, що стійкість нормальна.Якщо все
рівно мірно обмежені, то з , , треба співвідношення 
, , і, отже, 
, .Таким чином, стійкість обмеженої послідовності необхідно нормальна. Нехай
.По нерівності Чебишева
.Отже, умова Маркова:
, , досить для нормальної стійкості.Якщо
рівномірно обмежені, 
, то по нерівності 
, 
.Отже, у цьому випадку умова Маркова є також і необхідним для нормальної стійкості
.Якщо
й величини 
попарно не корельоване, то 
.Отже, у цьому випадку для нормальної стійкості середніх арифметичних
, тобто для того, щоб для всякого 
,Досить виконання наступної умови:
(теорема Чебишева). Зокрема, ця умова виконана, якщо всі величини рівномірно обмежені.1. Можна узагальнити цю теорему на випадок слабко корельованих величин
.Якщо припустити, що коефіцієнт кореляції
(ясно, що завжди 
) між 
і задовольняє нерівності 
й що 
, то для нормальної стійкості середніх арифметичних, тобто для того, щоб для всякого 
,досить виконання умови
, де 
.2. У випадку незалежних доданків
можна дати також необхідна й достатня умова для стійкості середніх арифметичних .Для кожного
існує константа 
(медіана ), що задовольняє наступним умовам: 
, 
.Покладемо
Теорема.
Нехай
– послідовність взаємно незалежних випадкових величин. Тоді умови 
= 
, 
, 
, необхідні й достатні для стійкості величин
, 
При цьому постійні 
, 
, можна прийняти рівними 
, так що у випадку 
(і тільки в цьому випадку) стійкість нормальна.Доказ.
Достатність умов теореми встановлюється просто. Справді оскільки
а відповідно до нерівності Чебишева 
те 
Для доказу необхідності нам знадобиться ряд допоміжних пропозицій.
Лема 1.
Нехай
– незалежні події, 
, 
і для якогось 
. Якщо, крім того, подія 
таке, що для кожного 
, то тоді 
.Доказ.
Якщо існує такий номер
, що 
, то 
.Нехай тепер для всіх
.Тоді найдеться таке
, що 
, і, виходить, для всіх 
, 
, 
.Звідси