Кручение стержней (стр. 8 из 9)
где
некоторое число.Уравнения (110) имеют следующие два решения:
(111) 
(112)где,
функция Бесселя второго порядка действительного аргумента соответственно первого и второго рода; 
функция Бесселя второго порядка мнимого аргумента соответственно первого и второго рода.Напряжения определяют по формулам:
(113)И
(114)где J1, Y1, I1, K1 - функция Бесселя первого порядка.
В функциях Лежандра.
Дифференциальное уравнение кручения валов переменного сечения (103) в криволинейных, ортогональных, изотермических координатах имеет вид:
(115)где
криволинейные, ортогональные, изотермические координаты в плоскости осевого сечения вала.Координаты
в плоскости 
(см. рис.19) связаны с координатами r и z соотношениями: 
(116)и обратно
Полагая
где
функция 
, а 
функция 
, и подставляя в уравнение (115), получаем, учтя формулы (116), два уравнения: 
(117)где n- некоторое постоянное число.
Из первого уравнения (117), принимая
, находим: 
(118)Решение второго уравнения (117) ищем в форме:
(119)где
Подставляя значение
во второе уравнение (117), приходим к уравнению Лежандра: 
(120)откуда
(121)где
функции Лежандра первого рода, а при n – целом числе – полиномы Лежандра.Первое решение уравнения (115) будет
(122)Второе решение имеет вид:
(123)где
функция Лежандра второго рода.При n=0 и n=1 решения получаются непосредственно из второго уравнения (117):
при n=0
при n=1
Таким образом, решения (122) и (123) дополняются двумя значениями функции
: 
(124)При эллиптических координатах
, которые связаны с координатами r и z соотношениями: 
(125)Полагая
приходим к решению в форме:
(126)где
Pn(…) - функция Лежандра первого рода;
Qn(…) – функция Лежандра второго рода.
Если переменить роли координат r и z, т.е. расположить полюса эллиптической системы координат не на оси вала Oz, а на оси Or, то связь между r, z и
будет 
(127)и решение (126) примет вид:
(128)где
ГЛАВА 4. ЗАДАЧИ
1. Стержень эллиптического сечения
скручивается моментом Mz.Исследовать напряженное состояние стержня.
Задаемся функцией напряжений в виде:
(a)где A-неизвестный множитель.
Подставляя функцию Ф в уравнение (91), получаем:
Откуда
и функция напряжений
(б)Напряжения определяем по формулам (90):
(в)Эпюры напряжений приведены на рис.20. рис.20
Для определения пользуемся формулой (97).
Согласно формуле (б) площадь эллипса
где при x=y=0
По формуле (97)
Наибольшее напряжение в точке (0, b)
2. Стержень кругового сечения
скручивается моментом Mz.
Исследовать напряженное состояние стержня.
Для функции напряжений принимаем выражение
(a)где A- неизвестный множитель.
Согласно уравнению (91)
Откуда
рис.21
и функция напряжений будет
(б)Напряжения определяем согласно формулам (90):
(в)Эпюры напряжений приведены на рис.21.
Согласно формуле (97)
Наибольшее напряжение
(г)где
полярный момент сопротивления.Все формулы настоящее задачи являются частным случаем формул задачи (85) при a=b, когда эллипс превращается в круг.
3. Задача Вебера (1921 г.)
Круглый стержень диаметром b с полукруглой выточкой радиуса a скручивается моментом Mz (рис.22).
Найти натяжное состояние стержня.
Уравнения контуров сечения в полярных координатах имеют вид:
(a)Функция напряжений принимает в форме:
рис.22
(б)где А - неизвестный множитель.
Функция Ф на контуре равна нулю.
В декартовых координатах при
функция напряжений
Согласно уравнению (91)
и функция напряжений будет
(в)Касательные напряжения в полярных координатах, согласно рис.22, равны:
Дифференцируя функцию Ф, получаем:
(г)Максимальное значение касательное напряжение принимает в точки контура, находящейся на дне выточки: