Кручение стержней (стр. 5 из 9)
или
(18)где x,y - координаты некоторой точки контура. Из аналитической геометрии известно, что уравнение (18) отвечает окружности с центром в начале координат. Таким образом, выбор функции
в виде 
дает нам решение задачи о кручении стержня круглого сечения. Уравнение (3) дает 
. Примем граничное условие w=0 при z=0; тогда C=0. Следовательно, плоское сечение цилиндра, перпендикулярное к оси, до закручивания, остается плоским и после деформации. Такое допущение обычно делается при решении задачи методами сопротивления материалов. Но уравнение (18) показывает, что это предположение справедливо только в случае кругового контура; нельзя ожидать, что оно будет справедливым для сечений другой формы.Пусть радиус окружности равен r0. Из формулы (15) при
получаем величину J: 
равную полярному моменту инерции Ip круглого сечения. Далее, из уравнения (16) имеем
(19)а согласно выражению (15)
(20)Результирующее касательное напряжение в некоторой точке P(x,y) равно
(21)где r - радиус-вектор точки относительно центра окружности, наклоненный к оси x под углом
, причем 
Следовательно, результирующее касательное напряжение в некоторой точке направлено по касательной к окружности, проходящей через эту точку.
Обратимся теперь к функции
(22)Очевидно, такая функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Условие на контуре (7), после подстановки в него функции
(22), принимает вид: 
Или
После интегрирования получим уравнение
где x,y - координаты любой точки контура.
Выпишем уравнение эллипса с центром в начале координат:
(24)где a и b - полуоси эллипса. Сопоставление уравнений (23) и (24) показывает, что они будут идентичными при условии, если
Решая это уравнение относительно A, получим
Таким образом, функция
(25)представляет собой функцию депланации в задаче о кручении цилиндра эллиптического сечения. Постоянная кручения равна:
(26)где Iy, Ix - моменты инерции соответственно относительно осей y и x.
Касательные напряжения в некоторой точке поперечного сечения равны:
(27)Результирующее касательное напряжение в точке P(x,y) равно
(28) 
рис.4
Напряжение
достигает максимального значения на концах малой оси. Чтобы показать это, построим ряд эллипсов внутри сечения. Пусть полуоси эллипсов будут a’ и b’, причем 
.Уравнения этих эллипсов могут быть записаны в параметрической форме следующем образом:
где
угол, показанный на рис.4. Подставляя эти значения x и y в уравнение (28), получаем результирующие касательные напряжения в любой точке этих эллипсов: 
Если a > b, то
будет максимально при a’= a и 
. Таким образом, касательное напряжение имеет максимум у концов малой оси, величина 
в этих точках равна: 
(29)При a = b эта формула переходит в выражение (21), относящееся к стержню круглого сечения. Направление напряжения
определяется отношением величин 
и 
. Из формул (27) видно, что это отношение пропорционально отношению y/x и, следовательно, постоянно вдоль линии OP. Это означает, что результирующее касательное напряжение вдоль линии OP имеет постоянное направление, совпадающее с направлением касательной P’P". 
рис.5
Если найдено выражение (25) для функции депланации, то легко определить перемещение w:
(30)где
. Линии равной депланации w=const будут гиперболами (рис.5). Допустим, что цилиндр скручивается крутящим моментом T, действующим так, как показано на рисунке стрелкой; выпуклые части сечения, для которых w положительно, отмечены сплошными линиями, а вогнутые – пунктирными. В случае свободно депланирующих торцов цилиндра нормальные напряжения на них отсутствуют. Однако если на одном из концов стержня депланации затруднена, как в случае защемления, то будут возникать нормальные напряжения, положительные в одном квадранте и отрицательные – в другом. Они подобны напряжениям, вызываемым двумя равными и противоположно направленными изгибающими моментами и поэтому называются напряжениями изгиба, возникающими при кручении.§2.2 Кручение тонкостенных труб
Ранее было показано, что на контуре функция
должна быть постоянной величиной. В случае сплошного сечения эту постоянную можно принять равной нулю. Пусть теперь профиль ограничен двумя замкнутыми кривыми, как изображено на рис.13. 
рис.13
Здесь по-прежнему можно принять, что функция
равна нулю на внешнем контуре S1; сделать же это допущение для внутреннего контура S2 нельзя. Известно лишь, что для точек внутреннего контура величина постоянна. В связи с наличием этой новой неизвестной, для решения задачи необходимо иметь дополнительное уравнение. Такое уравнение можно получить из условия, что перемещения должны быть однозначными.Из уравнения (5) имеем:
Вычислим интеграл
вдоль внутреннего контура: 
Так как w является однозначной функцией, и интегрирование производится по замкнутому контуру, то первый интеграл обращается в нуль. В параграфе §1.3 уже было показано, что второй интеграл равен удвоенной площади, ограниченной контуром S2. Поэтому имеем:
(60)где A2 - площадь, ограниченная контуром S2.
Вернемся теперь к мембранной аналогии. Если мембрану внутри контура S2 заменить невесомой плоской пластинкой (рис.13), то уравнение равновесия пластинки будет иметь вид:
(61)где F - натяжение мембраны, z - прогиб. Пользуясь равенством
находим из уравнения (61)
или что совпадает с выражением (60). Таким образом, в случае полого сечения надо считать, что мембрана натянута по внешнему контуру и связана с невесомой плоской пластинкой по внутреннему контуру.
На рис.13 точки В, В1 и С, С1 соответствует уровням внешнего и внутреннего контуров, а линии ВС и В’С’ представляют поперечное сечение мембраны, натянутая между двумя контурами. Если стенка тонкая, то линии ВС и В’С’ приближаются к прямым отрезкам; изменение уклона мембраны будет незначительно. Это равносильно предположению о постоянстве касательных напряжений по толщине стенки. Если через h обозначить постоянное значение функции
на контуре S2, то из мембранной аналогии следует, что h равносильно разности уровней обоих контуров. Пусть t - переменная толщина стенки. Касательное напряжение в любой точке определяется уклоном мембраны и равно