Из соотношений
вытекает, что составляющая касательного напряжения, направленная по нормали к горизонтали, равна нулю. Другими словами, касательное напряжение в точке В закручиваемого стержня направлено по касательной по горизонтали, проходящей через эту точку. Величину результирующего касательного напряжения можно найти из следующей формулы:
Следовательно, величина касательного напряжения в точке В определяется уклоном мембраны по нормали к горизонтали, и потому касательные напряжения достигают максимума в тех местах, где горизонтали особенно сгущаются. Рассмотрение поверхности мембраны показывает, что наибольший уклон имеет место на контуре. Отсюда можно заключить, что максимальные значения касательных напряжений будут также в определенных точках контура сечения стержня.
Обратимся к выводу выражения для постоянной кручения J через функцию
Здесь использовано то обстоятельство, что по формуле (52) на контуре S будет
рис.11
Пользуясь, рис .11, приходим к соотношениям
где А - площадь поперечного сечения. Подобным же образом можно показать, что
что совпадает с формулой (53).
§1.4 Кручение тонкостенных стержней открытого профиля
Рассмотрим вначале кручение стержня с поперечным сечением в форме узкого прямоугольника. Из мембранной аналогии заключаем, что влияние коротких сторон прямоугольника распространяется на небольшие участки. Если отношение b/a велико, то в формуле (43) величину
Обратимся к формуле (45). При значительном отношении b/a величина
будет большой, сумма же бесконечного ряда получает пренебрежимо малое значение. В результате получаем
Если величина J известна, то угол закручивания можно вычислить по формуле
Обозначим через b1 длину, а через t – толщину прямоугольника (рис.12,а); тогда эти формулы примут вид:
В предыдущем параграфе было показано, что напряжение
рис.12
Сопоставим теперь изогнутые мембраны с контурами, изображенными на рис.12,а и б. Очевидно, что если площади поперечного сечения их равны между собой, то равными будут и объемы выпучен в изогнутых мембранах. Если толщина t мала, то кривизна сечения в случае (б) незначительно влияет на максимальный уклон мембраны. Поэтому мы делаем вывод, что формула (56) может быть использована при получении приближенных решений и для тонкостенных профилей иной формы. Для поперечных сечений такого типа, который показан на рис.12,б, надо только вместо b1 в формуле (56) подставить развернутую длину дуги. В случае дуги окружности развернутая длина равна
Для таких тонкостенных профилей, как уголки, швеллера и двутавры,
вид изогнутых мембран будет таким, как если бы они были натянуты на несколько отдельных узких прямоугольников. Постоянная кручения J будет равна удвоенному объему, ограниченному изогнутой мембраной и плоскостью xy; максимальный уклон мембраны окажется равным
а для швеллерного и двутаврового сечения (рис.12, г):
Следует заметить, что во входящих углах имеет место значительная концентрация напряжений, зависящая от радиуса закруглений углов профиля. Для малых радиусов закруглений (r=0.1t) Трефц получил следующее уравнение для максимальных напряжений в углах профиля:
где r - радиус закругления угла. Уравнение (59) выведено для случая полок равной толщины. Если же полки имеют различную толщину t1 и t2, то в формулу следует подставить большую из них. Концентрация напряжений во входящих углах изучалось экспериментально, причем была использована аналогия с мыльной пленкой. Отношения
Таблица 1.2
| | | | 1 |
| 2,5 | 2,25 | 2,00 | 1,75 |
ГЛАВА 2.КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ, ИМЕЮЩИХ В СЕЧЕНИИ ОКРУЖНОСТЬ ИЛИ ЭЛЛИПС
§2.1 Кручение стержней круглого и эллиптического сечений
Было показано, что для решения задачи о кручении надо найти функцию депланации
во всех точках поперечного сечения, т.е. в области R , и условию
на контуре S. Выясним, как найти решение для контура определенной формы.
Задача о кручении стержня круглого и эллиптического сечения решалась с помощью обратного метода. Простейшее решение уравнения Лапласа имеет вид:
При
Отсюда