Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (стр. 1 из 6)

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Z_n

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.

Допущена к защите в ГАК

Зав.кафедрой Вечтомов Е М.

« »

Декан факультета Варанкина В. И.

« »

Киров 2003

Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Z_p

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Z_p ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Z_n ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Z_p . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Z_p .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z_n.

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность

(или - размеров

). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров

) записывается в форме:

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицыA=(a_ij) и B=(b_ij) одного и того же размера

можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(c_i_j),

, т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(a_ij) определяется следующим образом: cA=(ca_ij).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(a_ij) размером

и матрицу B=(b_ij) размером

(т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(c_ij) размером

, где

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1. (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

2. A+B=B+A – коммутативность;

3. Существует нейтральный элемент – матрица 0: A+ 0 = 0 + A = A;

4. Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

;

По умножению матриц:

9. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB

ВА;

10. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;

11. (cA)B=A(cB)=cAB;

12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая)(A₁+A₂)B=A₁B+A₂B, A(B₁+B₂)=AB₁+AB₂;

13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером

, то
E_mA = AE_n = A.

14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

где (a₁, a₂, ..., a_n) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель

равен +1, если (a₁, a₂, ..., a_n) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента a_ijназывается определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор a_ijэлемента обозначается М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)ⁱ⁺^j.