1. ad=9. Возможно 4 случая.
bc=8. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
2. ad=8. Возможно 12 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
3. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 9 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
5. ad=5. Возможно 9 случаев.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
6. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
7. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
8. ad=2. Возможно 12 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
9. ad=1. Возможно 4 случая.
bc=0. Возможно 27 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
10. ad=0. Возможно 27 случаев.
bc=9. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 —720.
Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10 обратимыми являются 2880.
Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §2):
| Zn | формула | количество |
| 2 | (p-1)2p(p+1) | 6 |
| 3 | (p-1)2p(p+1) | 48 |
| 4 | - | 96 |
| 5 | (p-1)2p(p+1) | 480 |
| 6 | - | 288 |
| 7 | (p-1)2p(p+1) | 2016 |
| 8 | - | 1536 |
| 9 | - | 3888 |
| 10 | - | 2880 |
| 11 | (p-1)2p(p+1) | 13200 |
| 12 | - | 4608 |
| 13 | (p-1)2p(p+1) | 26208 |
| 14 | - | 12096 |
| 15 | - | 23040 |
| 16 | - | 24576 |
| 17 | (p-1)2p(p+1) | 78336 |
| 18 | - | 23328 |
| 19 | (p-1)2p(p+1) | 123120 |
| 20 | - | 43520 |
| 21 | - | 96768 |
В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.
Пусть Zn -кольцо вычетов по модулю n, причем n=p1k1p2k2…pmkm ,
Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:
(p1-1)2(p2-1)2…(pm-1)2p1p2…pm(p1+1)(p2+1)…(pm+1)(p14)k1-1(p24)k2-1…(pm4)km-1
Литература
1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.