Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (стр. 3 из 6)
Будем рассматривать матрицы
.Алгебраические дополнения к элементам
, 
и 
есть определители матриц 
, 
и 
соответственно, порядка 2, при чем 
, 
и 
.Нужно найти количество всех невырожденных матриц (
).При этом
(2.1)Формулу выведем в 3 этапа.
1) Пусть
(р-1 штук), 
(их количество по формуле (1.5)), 
(по р штук) (2.2).Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле
(р-1)3р5(р+1) (2.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что
, .При условии (2.2) не учитываются матрицы вида
с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида 
с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:
а)
(р-1 штук), 
и . Из (2.1) получаем равенство 
.а1) Пусть
=0. Тогда 
и 
. Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к 
то из выражения 
получаем равенство 
, т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть 
. Из того, что получаем 
.Элементом 
, принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент 
. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1) штук.а2) Если
¹0, 
.Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2р(р+1). Т.к , то, из выражения 
получаем . Пусть . Домножим равенство 
( 
) на . Заменим 
на 
(из того, что ). Получим равенство 
. Вынесем 
за скобки 
и т.к. 
делаем вывод, что 
. Значит и 
( ). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5×р×(р+1) штук.а3) Если
¹0, 
и 
получаем (р-1)4×р2×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)а4) Если
¹0, , 
и 
получаем (р-1)5×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)
а5) Если
¹0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство 
( ) умножим на и заменим 
на ( ). Получим равенство 
. Вынося за скобки ( 
), замечаем, что элемент однозначно выражается через 
( 
- р-1 штук). Но тогда 
тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1)штук.Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)4×р×(р+1)×(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).
б)
(р-1 штук), ((р-1)2×р×(р+1)) штук). Т.к. 
, значит 
(2.4)