Обратимые матрицы над кольцом целых чисел (стр. 2 из 6)

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А_ij=(-1)^i+j× М_ij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и С

В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из nn-мерных столбцов)

Тогда

= ×1= × = =

=

= = = .
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Z_n.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. ПустьA=(a_ij) –невырожденная квадратная матрица (

). Рассмотрим матрицу А^*=

, где А_ij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА^*, где С=(с_ij)

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:

, т.е. . Значит матрица А^* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А (

) имеет обратную А^*, тогда верными будут следующие равенства: А·А^*=Е, , , .
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Z_n называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Z_n .

§2. Обратимые матрицы над полем Z_p

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Z_p, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы

.

Алгебраическое дополнение к элементу

есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда

). При этом

(1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

1) Пусть

(р-1 штук), (р-1 штук),

(по р штук) (1.2).

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)²р² (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что

, .

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида

с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а)

(р-1 штук), и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук.

б)

, и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)³ штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

2) Пусть

. Тогда , а из (1.1) получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)²×р (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Z_p

(р-1)²×р×(р+1) (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.