Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все

равны друг другу (так как в каждом случае
).
На основании же теоремы 14 мы получаем аналоги приведённых неравенств.
Пример 1/.

, где
,
, 
,
, 
.
Пример 2/.

, где
, 
,
, 
.
Пример 3/.

, где
, 
,
, 
.
Пример 4/.

, где

.
Замечание. Равенство в вышеуказанных примерах имеет место тогда и только тогда, когда все

равны
a или все

равны
b.
3. Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог
Один из вариантов неравенства Гёльдера (для средних значений) выглядит так [2]:

, где

,

,
, 
,

,

.
Запишем его в следующей форме

с квази-средними, заданными функциями

,

,

, или

. Снова, как и для обобщения неравенства Коши, зададимся вопросом, будет ли неравенство Гёльдера выполнятся для произвольных квази-средних.
Теорема 15. Для того чтобы выполнялось неравенство
для всех 
,
, 
,
необходимо и достаточно, чтобы
=
была выпуклой вверх функцией, если
возрастает, или выпуклой вниз функцией, если
убывает.Доказательство. Пусть

возрастает. Тогда наше неравенство эквивалентно неравенству

. Полагая
= 
и

,

, переписываем

. А новое неравенство по теореме 10 справедливо тогда и только тогда, когда функция

или

выпукла вверх.
При убывании

рассуждаем аналогично.
Теорема 16. Для того, чтобы для всех

,

,

,
и
,
,
выполнялось неравенство
достаточно, чтобы функция
=
была выпуклой вверх, если
возрастает, или выпуклой вниз, если
убывает.Доказательство точно так же, как и предыдущей теореме, сводим к теореме 11.
Теоремы 15 и 16 содержат как частные случаи следующие известные неравенства и их аналоги.
Пример 1 (неравенство Гёльдера). Для

,

,

функция
=
=
по теореме 12 выпукла вверх, если

и

, и поэтому

для

.
Пример 2 (неравенство Коши-Буняковского). Для

, где

,
, 
.
Пример 1/ (аналог неравенства Гёльдера).

, где

,

,

,

,

,
, 
,

,

.