Обобщение классических средних величин (стр. 8 из 10)
2. Обобщение неравенства Коши и его аналог
Известное неравенство Коши
или 
говорит о том, что среднее геометрическое и среднее арифметическое сравнимы для любых чисел xi>0 и любых весов 
, 
, 
.Возникает вопрос, будут ли сравнимы квази-средние, их обобщающие, то есть справедливо ли неравенство
≤ 
, или 
≤ 
.Теорема 13 (о сравнении квази-средних). Для того, чтобы выполнялось неравенство 
≤ 
, или 
≤ 
для всех 
, 
, 
, необходимо и достаточно, чтобы функция 
была выпуклой вниз, если 
возрастает, или выпуклой вверх, если 
убывает.
Доказательство[2]. Пусть
возрастает. Тогда из неравенства 
≤ 
следует 
. Обозначая 
и 
, получаем 
≤ 
, то есть мы просто переписываем неравенство 
≤ 
в другой форме. Новое же неравенство по теореме 7 справедливо тогда и только тогда, когда функция 
, или 
выпукла вниз.При убывании
рассуждаем аналогично.Замечание. Если 
, где 
, на некотором промежутке, содержащем все 
, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все равны друг другу.
Действительно, пусть
= 
. Тогда 
= 
, и поэтому если функция 
не линейна, то есть 
, или 
, то равенство достигается только тогда, когда все все 
, а следовательно, и , равны друг другу.Отметим, что данное замечание даёт другое доказательство теоремы 4 о тождественных квази-средних.
Теорема 14. Для того, чтобы выполнялось неравенство 
≤ 
для всех 
и 
, 
, 
, достаточно, чтобы функция 
была выпуклой вниз, если возрастает, или выпуклой вверх, если убывает.
Доказательство. Точно так же, как и в предыдущей теореме, приводим данное неравенство к неравенству
(или ему обратному при убывании 
), которое по теореме 8 вновь верно при условии, что функция 
, или 
выпукла вниз (вверх()овь верно при тех же условиях________________________________________________________________________________________________). Замечание. Если 
, где 
, на отрезке 
, то равенство в доказанном соотношении достигается только тогда, когда все 
равны a или все равны b.
Теорема 13 позволяет нам как частные случаи получить известные неравенства для средних степенных [3]. Приведём эти неравенства.
Пример 1 (неравенство, характеризующее свойство монотонности среднего степенного). Для
, 
, 0<r<s функция 
выпукла вниз (так как её вторая производная неотрицательна), и поэтому 
, где 
, 
, , 
, или 
.Пример 2 (неравенство Коши). Для
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где 
, 
, 
, или 
.Пример 3 (неравенство Гюйгенса). Для
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где 
, , 
, или 
.Пример 4 (неравенство Бернулли). Для
и 
функция 
выпукла вниз, и поэтому 
, где 
, , , или 
. В частности, если положить 
, 
, 
, то получим так называемое обобщённое неравенство Бернулли 
( 
).