1) непрерывность хотя бы в одной точке;
2)
; 3) рефлексивность, то есть
; 4) симметричность.
Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции

,
pi
R, далее свойство 3 обеспечивает

, а из свойства 4 вытекает

.
Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении
. Например: для среднего арифметического

задающая его функция

, и поэтому

;
для среднего геометрического

,

;
для среднего гармонического

,

;
для среднего квадратичного

,

.
3. Тождественные квази-средние
Квази-среднее

определено, если задана функция

. Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если

для любых

или

и

–тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции

и

также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая
Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних
и
является условие
, где
.Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

, и поэтому

=

или

=

для любых

, то есть условие достаточно.
Обратно, пусть

=

,

=

или

. Обозначая

и

, перепишем

=

.
Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку

из области значений функции

и представим

. Тогда

=

или

=

. Полагая
, где

для каждого
i, найдём
=
, где

не зависит от

.
Поэтому

=

, что с обозначениями

,
, 
перепишется так:
. Тогда решением этого функционального уравнения будет функция
,
, где
. Так как 
, то

, или
, если взять
.Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее

мы можем взять любую функцию из целого класса функций

, где
а≠0 и
b – произвольные постоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует
.4. Однородные квази-средние
Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение

для любых

не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные

обладают однородностью. Теперь покажем, что других квази-средних с данным свойством не существует [2].
Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.
Доказательство. Предположим, что равенство

имеет место, и выведем из него вид задающей квази-среднее функции
. Перепишем

или

=

. Получили тождественные квази-средние, заданные функциями

и

. В силу теоремы 4 имеем

(*), где

и

– функции от
λ,
≠0. Также мы можем положить

.