О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп (стр. 8 из 10)

Достаточность. Пусть

, где – не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.

Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-специальная формация, когда

, где

и

– различные простые числа,

.

В случае, когда

из теоремы 3.4 вытекает

Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-специальная формация, когда

, где

– не

-специальная группа Шмидта.

Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-специальная формация, когда

, где

– отличное от

простое число.

Минимальные

-замкнутые тотально насыщенные не

-разложимые формации.

Группа называется

-разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.

Класс всех

-разложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.

Теорема 3.5. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разложимая формация, когда

, где

– не

-разложимая группа Шмидта.

Доказательство. Обозначим через

формацию всех -разложимых групп.

Необходимость. Пусть

– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где – такая группа Шмидта, что . Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.

Достаточность. Пусть

, где – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации можно считать, что . Значит, , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка. Поскольку группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.

Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда

– минимальная

-замкнутая тотально насыщенная не

-разложимая формация, когда

, где .