
потребовав, чтобы

была наибольшей нормальной

-подгруппой в

, а

- наибольшей нормальной

-подгруппой в

.
Наименьшее целое число

, для которого

, мы назовем

-длинной группы

и обозначим его

, или, если необходимо,

.

-длину

-разрешимой группы можно также определить как наименьшее число

-факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего

-ряда (2.2). Подгруппы

и

, очевидно, характеристичны в

, и

содержит все нормальные подгруппы группы

с

-длинной, не превосходящей числа

. Заметим также, что

для

Подгруппы и факторгруппы

-разрешимой группы

также

-разрешимы, и их длина не превышает

. Если группы

и

обе

-разрешимы, то таково же их прямое произведение

и

Пусть

-

-разрешимая группа и

- ее силовская

-подгруппа. Разумно предположить, что чем больше

-длинна

группы

, тем большей должна быть сложность силовской подгруппы

. Придадим точный смысл этому утверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критерии сложности

. Наиболее естественные из этих критериев, силовские

-инварианты группы

, таковы:
(i)

где

- порядок

,
(ii)

- класс нильпотентности

, т.е. длина (верхнего или) нижнего центрального ряда

,
(iii)

- длина ряда коммутантов

,
(iv)

где

- экспонента

, т.е.
наибольший из порядков элементов

. Экспонента самой группы

, т.е. наименьшее общее кратное порядков ее элементов, равна поэтому

. Очевидно, равенство нулю любого из инвариантов

или

равносильно тому, что

является

-группой.
В основных теоремах ограничимся случаем нечетных простых чисел

, и даже тогда результаты будут несколько различнми, в зависимости от того, является ли

простым числом Ферма вида

или нет.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Если

-

-разрешимая группа, где

- нечетное простое число, то
(i)

(ii)

если

не является простым числом Ферма, и

, если

- простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.
Мы установим также неравенства, связывающие

c

и

с

, но здесь наши результаты будут неулучшаемы только для простых чисел, не являющихся простыми числами Ферма. Все эти результаты тривиальны для

, и мы докажем их индукцией по

. Предположим, что

и что

, как всегда обладает верхним

-рядом (2.2). Пусть

подгруппа Фраттини

-группы

. Всякий элемент группы

индуцирует внутренний автоморфизм группы

и, следовательно, группы

. Но, как извесно,

является элементарной абелевой

-группой; поэтому ее можно отождествить с аддитивной группой векторного пространства над простым полем характеристики

, а ее автоморфизм - с линейными преобразованиями этого пространства. Автоморфизмы группы

, индуцированные элементами

, образуют поэтому линейную группу над полем характеристики

. Эта группа, очевидно, является гомоморфным образом группы

, и мы покажем, что в действительности она изоморфна группе

, и поэтому является

-разрешимой группой, не содержащей нормальной подгруппы, отличной от единицы.