
Поскольку

то опять теорема справедлива.
Итак, можно считать, что

и

по следствию 1.6. По индукции

Если

, то утверждение справедливо. Пусть

, т.е.

. Считаем, что

-

-группа. Тогда

-

-группа. Пусть

. Если

, то

и

, поэтому

и теорема справедлива.
Остается случай, когда

. Так как

-

-подгруппа, то

причем

-

-группа. Противоречие.
Пример 1.14.
Все три значения

в теореме 1.13 имеют место. Значение

выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение

выполняется на группе

с максимальной подгруппой

. Значение

выполняется на группе

, у которой силовская

-подгруппа максимальна.

Если факторгруппа

нильпотентна, то группу

называют метанильпотентной.
Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.
Proof. Обозначим через

пересечение всех максимальных подгрупп группы

, не содержащих

, а через

пересечение максимальных подгрупп группы

, содержащих

. Ясно, что подгруппы

и

характеристические в группе

и

(1) В факторгруппе

подгруппа Фиттинга

по лемме 1.2, поэтому

Предположим, что

и пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы

, содержащаяся в

. Так как подгруппа

нормальна в группе

и факторгруппа

нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа

нильпотентна и

. Но теперь

противоречие. Поэтому допущение неверно и

, т.е.

.
(2) Пусть

- разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что

и

Поэтому подгруппа

метанильпотентна.
Пример 1.16. В неразрешимой группе

центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок

. Поэтому в группе

нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.
Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.
2
-ДЛИНА
-РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ Пусть

- простое число. Назовем группу

-группой, если ее порядок не делится на

и, как обычно,

-группой, если её порядок равен степени числа

. Конечную группу

будем называть

-разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо

-группой, либо

-группой. Таким образом, группа

разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она

-разрешима для всех простых

. Ясно, что группа

-разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа

является либо

-группой, либо

-группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний

-ряд.