Proof. По условию

а по теореме 4.6, с. 35, коммутант

. По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини

а по условию

Поэтому

и

абелева. Пусть

- добавление к

в

. По лемме 4.8, с. 35,

Поскольку

и

то

и по теореме 4.7, с. 35,

Следовательно,

и

- дополнение к

в

.
Теорема 1.5. Факторгруппа

есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы

.
Proof. Предположим вначале, что

и обозначим через

подгруппу Фиттинга

По теореме 4.6 коммутант

Но

значит

по теореме 4.7, с. 35. Поэтому

и

абелева. Пусть

- прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы

наибольшего порядка. Тогда

и по теореме 1.4 существует подгруппа

такая, что

По тождеству Дедекинда

Но

абелева, поэтому

а так как

, то

По выбору

пересечение

и

Пусть теперь

и

По лемме 1.2(2)

Так как

то для

утверждение уже доказано.
Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.

Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.
Proof. Пусть

По следствию 4.9, с. 35, подгруппа

нормальна в

. Если

главный ряд группы

, то

нормальный ряд группы

. Так как подгруппа

содержится в каждой подгруппе

, то

для

. По теореме 4.10, с. 35, подгруппа

нильпотентна, поэтому

.
Проверим обратное включение. Пусть

- главный фактор группы

. Так как

то по лемме 4.11, с. 35, либо

либо

В первом случае

, поэтому

Во втором случае из нильпотентности подгруппы

по лемме 1.2 получаем, что

Снова

. Таким образом,

и

.
Лемма 1.8.

.
Proof. Пусть

. Ясно, что

и

. Так как

то

и

изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы

. Поэтому

и

.
Пусть

- группа и пусть

Ясно, что

В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное

такое, что

.
Нильпотентной длиной разрешимой группы

называют наименьшее

, для которого

. Нильпотентную длину разрешимой группы

обозначают через

. Таким образом, если группа

разрешима и

, то