Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 5 из 17)

(2) Ясно, что

для всех , поэтому

Обратно, если

- силовская -подгруппа группы , то и нормальна в , поэтому и

(3) Если

, то и нильпотентна, поэтому по (1) и .

Лемма 1.2. (1)

; если разрешима и , то ;

(2)

(3) если

, то ; если, кроме того, абелева, то

Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини

- нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть - разрешимая неединичная группа. Тогда разрешима и неединична. Пусть

Так как

- -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Следовательно, .

(2) Если

, то - нильпотентная нормальная в подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому и

Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.

(3) Для минимальной нормальной подгруппы

либо , либо . Если , то

Если

, то - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны, по теореме 4.4, с. 35, поэтому .

Теорема 1.3.

для любого . В частности, если разрешима, то

Proof. Пусть

, . Так как по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что для некоторого и пусть

Ясно, что

и Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как

-группа, то , а поскольку , то и . Теперь, - нильпотентная нормальная подгруппа группы и . Таким образом, и первое утверждение доказано. Если разрешима, то разрешима, поэтому и .

Говорят, что подгруппа

группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе

Теорема 1.4. Если

- нильпотентная нормальная подгруппа группы и , то дополняема в .