Определение. Пусть

- простое число. Назовем группу

-группой, если ее порядок не делится на

и, как обычно,

-группой, если её порядок равен степени числа

. Конечную группу

будем называть

-разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо

-группой, либо

-группой. Таким образом, группа

разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она

-разрешима для всех простых

. Ясно, что группа

-разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа

является либо

-группой, либо

-группой.
Определение. Наименьшее целое число

, для которого

, мы назовем

-длинной группы

и обозначим его

, или, если необходимо,

.

-длину

-разрешимой группы можно также определить как наименьшее число

-факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего

-ряда

Доказывается
Теорема D. Если

-

-разрешимая группа, где

- нечетное простое число, то
(i)

(ii)

если

не является простым числом Ферма, и

, если

- простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.
В главе "Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам" доказана важная теорема.
Определение. Группа

называется

-сверхразрешимой, если ее главные факторы либо

-группы, либо имеют простые порядки.

-Сверхразрешимой называют группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок

, либо являются

-группами. Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.
Теорема E. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или

, где

- нильпотентная группа, а

и

- простые числа.
Также доказано следствие из этой теоремы.
Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна

или

, где

-

-группа, либо

, где

-

-группа.
1 ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА
Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы

называют подгруппой Фиттинга группы

и обозначают через

. Множество простых делителей порядка группы

обозначается через

а наибольшую нормальную

-подгруппу группы

- через

.
Лемма 1.1. (1)

- наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы

;
(2)

;
(3)

.
Proof. (1) Пусть

и

- нильпотентные нормальные подгруппы группы

и пусть

и

- силовские

-подгруппы из

и

. Так как

, а

, то

по лемме 4.1, с. 35. Аналогично,

, поэтому

. Ясно,

-

-группа. Покажем, что она силовская в

. Для этого вычислим ее индекс:

Так как числитель не делится на

, то

- силовская

-подгруппа группы

. Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому

- наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы

.