Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам (стр. 2 из 17)

- группа всех автоморфизмов группы ;

- главный ранг группы ;

- -главный ранг группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

Пусть

- максимальная цепь подгрупп, т.е. для всех . Если разрешима, то все индексы максимальной цепи примарны, т.е. . Тогда:

.

При введении обозначений

и рассматриваются все максимальные цепи.

- -длина группы ;

- нильпотентная длина группы ;

- производная длина группы ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

- является нормальной подгруппой группы ;

- является минимальной нормальной подгруппой группы ;

- является субнормальной подгруппой группы ;

- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

- индекс подгруппы в группе ;

;

- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;

- подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;

- централизатор подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

- центр группы ;

- циклическая группа порядка ;

- симметрическая группа степени ;

- знакопеременная группа степени .

Если

и - подгруппы группы , то:

- прямое произведение подгрупп и ;

- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

- и изоморфны.

Скобки

применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

Группу

называют:

-замкнутой, если ;

-нильпотентной, если ;