Допустим, что

не содержится в

. Тогда

- собственная в

подгруппа и

. Так как

,

и

-

-группа, то

- группа нечётного порядка. Подгруппа

имеет порядок

и

- простое число. Поэтому

и теперь

, а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.
Следовательно,

содержится в

и из самоцентрализуемости

и нильпотентности

получаем, что

-

-группа для наибольшего простого

, делящего порядок

. Из теоремы 2.1 [15] получаем, что

, а

. Но теперь

- подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен

, то

нильпотентна, и опять

не самоцентрализуема. Противоречие.
Теорема доказана полностью.
Рассмотрим доказательство следствия.
Proof. Пусть

- конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если

- несверхразрешимая в

подгруппа, то

, где

- простое число. Теперь

для силовской

-подгруппы

из

, т. е. группа

удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

или

где

- нильпотентная группа. Если

то в

имеется несверхразрешимая подгруппа

индекса

. Так как этот индекс должен быть примарен, то

или

, поэтому

или

, а

- либо

-группа, либо

-группа. Если

то в

имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка

, а её индекс равен

и должен быть примарен, т. е.

должна быть

-группой. Следствие доказано.
4 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лемма 4.1. Пусть

. Тогда:
(1) если

,

, то

;
(2) если

,

, то

.
Следствие 4.2. Если

нильпотентна, то

нильпотентна.
Теорема 4.3. Пусть

,

и

. Если

нильпотентна, то

нильпотентна.
Теорема 4.4. (1) Центр

неединичной нильпотентной группы

отличен от единицы и

.
(2) В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
(3) В нильпотентной группе

пересечение неединичной нормальной подгруппы

с центром группы отлично от единицы и

.
Лемма 4.5. Пусть

- нормальная подгруппа группы

. Тогда:
(1) если

, то

и

;
(2) если

, то

и

;
(3)

;
(4)

.
Теорема 4.6. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда её коммутант содержится в подгруппе Фраттини.
Теорема 4.7. Пусть

. Тогда:
(1)

;
(2)

;
(3) если

, то

;