Теперь

Поскольку

и

- простые числа, то в

существует подгруппа

порядка

. Для

подгруппа

-замкнута, и внешний автоморфизм

не централизует силовскую

-подгруппу, поэтому

несверхразрешима. Так как в

нет нильпотентной подгруппы порядка

, то

не удовлетворяет условию теоремы при

. Если

, то в

для подгруппы Шмидта, изоморфной знакопеременной группе

степени

, должна найтись нильпотентная подгруппа

порядка, делящегося на

. Но такой нильпотентной подгруппы в

нет.
Итак, если

, то

изоморфна

, где

и

- простые числа.
Пусть теперь

. Предположим, что

не является минимальной нормальной в

подгруппой, и пусть

- минимальная нормальная в

подгруппа, содержащаяся в

. По индукции,

, где

- нильпотентна, а

изоморфна

или

. Так как

, то

- собственная в

подгруппа, и для её прообраза

в группе

по индукции получаем, что

, где

или

. Подгруппа

характеристична в

, а

нормальна в

, поэтому

нормальна в

. Так как

то

Поскольку для несверхразрешимой подгруппы

из

существует нильпотентная подгруппа

такая, что

, то

будет нильпотентной подгруппой.
Теперь рассмотрим случай, когда

- минимальная нормальная в

подгруппа. Предположим, что коммутант

- собственная в

подгруппа. Так как

то

Из минимальности

получаем, что

Так как

где

и

- простые числа, то в этом случае теорема доказана.
Итак, пусть

. Если

- собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты

следует, что

содержится в центре

. Теперь группа

изоморфна

или

по теореме VI.25.7 [14].
Пусть

самоцентрализуема. Поскольку

разрешима, то

-

-группа для некоторого простого

. Допусти, что существует простое

, делящее порядок

, и пусть

- силовская

-подгруппа из

. Если подгруппа

сверхразрешима, то

нильпотентна и

не самоцентрализуема. Если

не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа

такая, что

. Но теперь

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак,

- наибольшее простое число, делящее порядок

.