Последнюю теорему можно применить для короткого доказательства утверждений

и

.
3 ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ
В настоящем главе описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых групп. Доказывается
Теорема 3.1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна

или

, где

- нильпотентная группа, а

и

- простые числа.
Следствие 3.2. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна

или

, где

-

-группа, либо

, где

-

-группа.
Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С. С. Левищенко [13]. Среди них нет неразрешимых групп.
Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в [2,14].
Нам понадобится следующая
Лемма 3.3. Пусть в конечной группе

каждая несверхразрешимая группа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы

каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.
Proof. Пусть

- произвольная подгруппа конечной группы

, и пусть

- несверхразрешимая подгруппа из

. В группе

существует нильпотентное добавление

к подгруппе

. Поэтому

, а

. Теперь

- нильпотентна, и к

vможно взять нильпотентное добавление в подгруппе

.
Пусть

- нормальная в

подгруппа, и

- несверхразрешимая в

подгруппа. Тогда

несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа

такая, что

. Теперь

нильпотентна и

, т. е. к подгруппе

можно найти в

нильпотентное добавление.
Докажем теорему.
Пример. Путь

- конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как

не

-нильпотентна, то в

существует

-замкнутая подгруппа Шмидта

, где

- нормальная в

силовская 2-подгруппа, подгруппа

- циклическая [14,c. 434]. Поскольку

не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа

такая, что

. С учётом чётности порядка

из теоремы 2.8 [15] заключаем, что фактор-группа

изоморфна

или

, где

- некоторое простое число, а

- наибольшая разрешимая нормальная в

подгруппа. Кроме того,

а

Здесь

и

- 'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка

. Из теоремы 2.10 [15] получаем, что

- простое число.
В случае, когда

и

- простые числа в простой группе

, каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе

. Последняя подгруппа имеет в

циклическое дополнение

. Поэтому группа

в случае, когда

и

- простые числа, удовлетворяет условию теоремы.
Проверим, что группа

не удовлетворяют условию теоремы. Пусть

Известно, что

- нормальная в

подгруппа, а

- циклическая группа порядка

. Для силовской

-подгруппы

из

имеем