Следствие 2.8. Пусть

- некоторая подгруппа

, индекс которой не делится ни на какое простое число из

, тогда центр группы

содержится в центре группы

.
Действительно, подгруппа

должна содержать нормальную

-подгруппу

группы

.
Следствие 2.9. Пусть

- некоторая подгруппа группы

, содержащая

, тогда

не обладает неединичной нормальной

-подгруппой.
Действительно, нормальная

-подгруппа группы

должна содержаться в центролизаторе группы

.
Под

-подгруппой конечной группы

мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа

разрешима и ее порядок равен

, где

, то группа

обладает

-подгруппами порядка

и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.
Теорема 2.10. Если

- разрешимая группа порядка

, где

при

, и если подгруппа группы

порядка

имеет класс нильпотентности

то

В частности, для любой конечной разрешимой группы

.

-подгруппа некоторой факторгруппы

, порядок которой делит

, имеет класс нильпотентности, не превышающий

, так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы

, допустив что

обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет

-группа для некоторого простого числа

, и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит

. Тогда, если мы возьмем в качестве

множество простых долителей числа

, окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если

- наибольшая нормальная

-подгруппа группы

и

- ее центр, то по следствию леммы 2.5

содержит центр

-подгруппы группы

, имеющей порядок

. Порядок

-подгруппы группы

делит

, поэтому класс нильпотентности ее не более

. Для

-подгруппы групп

и

порядка

изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к

, получим

Так как

, то доказательство по индукции проведено.