(II)

;
(III) если

- факторгруппа

, то

.
Тогда справедлива
Лемма 2.5. В доказательстве неравенства (2.3) индукцией по порядку группы

можно предположить, что

обладает только одной минимальной нормальной подгруппой.
В самом деле, если

обладает двумя минимальными нормальными подгруппами

и

, мы получим, что

, так что

изоморфна подгруппе прямого произведения

. Т.к.

- инвариант, имеющий одинаковые значения для изоморфных групп, последние (I) и (II) дают

В силу предположения индукции

и в силу условия (III)

. Таким образом,

, и точно также

, так что

, что и требовалось.
Заметим, что все силовские

-инварианты, упомянутые раньше, кроме

, заведамо удовлетворяют условиям (I), (II) и (III). То же верно и для инварианта

разрешимой группы и инварианта

-разрешимой группы;

удовлетворяет условию (III). Таким образом, если

удовлетворяет условиям (I) и (II), то этим же условиям удовлетворяет любая неубывающая функция

, а если

удовлетворяют условию (III), то этому же условию удовлетворяет любая функция

, не убывающая по любому из

аргументов. Так как все наши неравенства тривиальны для достаточно малых групп

, то легко видеть, что утверждение последней леммы можно применять каждый раз, когда это необходимо.
Теорема 2.6. Если

- разрешимая группа, то

.
Доказывая теорему индукцией по порядку

, можно предположить, что

обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Так как

разрешима, эта подгруппа будет

-группой для некоторого простого числа

. Тогда в верхнем

-ряде (2.2) группы

подгруппа

. Отсюда

Но

и

-1, в то время как при

инварианты

и

имеют одинаковые значения для

и

.
Пусть предложение индукции, применённое к группе

, даёт

Отсюда следует теорема.
Нам понадобиться далее важное свойство верхнего

-ряда

-разрешимой группы, которое удобно вывести в немного более общем контексте. Пусть

- некоторое множество простых чисел, а

- дополнительное к

множество.

-группа - это конечная группа, порядок которой делится только на простые числа, входящие в

. Конечная группа

-разрешима, если каждый её композиционный фактор является либо

-группой, либо

-группой. Такая группа

обладает верхним

-рядом, для которого мы используем те же обозначения, что и в случае, когда

содержит одно простое число

. Таким образом, мы пишем

для ряда нормальных подгрупп, требуя, чтобы факторгруппа

была наибольшей нормальной

-подгруппой в

, а факторгруппа

- наибольшей нормальной

-подгруппой в

.
Лемма 2.7. Если

-разрешимая группа

не содержит неединичную

-подгруппу, так что

, то группа

содержит свой централизатор в группе

.
Пусть

- централизатор группы

. Если лемма не верна и

, то мы можем выбрать нормальную подгруппу

группы

, такую, что

и минимальную при этом условии. Так как группа

-разрешима, факторгруппа

оказывается или

-группой, или

-группой, а по определению группы

она не может быть

-группой. Следовательно, факторгруппа

есть

-группа и порядки групп

и

взаимно просты. По теореме Шура, группа

обладает дополнением

в группе

. Так как

, трансформирование группы

элементом из

индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки

и

взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда

- прямое произведение

и

. Поэтому

является характеристической подгруппой в

, а следовательно, нормальной подгруппой в

, в потиворечие с предположением, что

. Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение

на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе

.