Опыт применения критерия Сильвестра в некоторых задачах устойчивости консервативных систем (стр. 2 из 2)
Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы (6):
(7)и составим из нее п главных диагональных миноров (в матрице (7) они окантованы пунктиром)
(8)В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра :для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры А 1г Д2, . . ., Ап матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е.
(9)Из сказанного следует, что критерий Сильвестра (9) для квадратичной части функции Vявляется достаточным (но не необходимым) условием определенной положительности самой функции V.
Если функция Vопределенно-отрицательна, то функция — Vбудет определенно-положительной. Поэтому достаточным условием определенной отрицательности функции Vбудет критерий Сильвестра (9) для матрицы —С. Этот критерий имеет вид
(10)Т.е. определители
должны последовательно чередовать знак, причём знак 
должен быть отрицательным.В качестве примера рассмотрим функцию
Разложим эту функцию в ряд по степеням хх и х2. Имеем
где точками обозначения члены, содержащие х1 и х2 в степени выше второй. Внося эти выражения для sin3xtи cos(xL — х2) в функцию V, получим
Или, упрощая
Составим матрицу коэффициентов квадратичной части функции
V(по главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, элементы с12иC2i равны половине коэффициента при дроизведениж ххх2):
Вычислим теперь главные диагональные миноры:
Отсюда следует, что условие Сильвестра выполнено (все
) и поэтому рассматриваемая функция Vв окрестности пуля определенно положительна. Заметим, что на всей плоскости хгх2 функция Vтолько положительна, так как при хг = х2 = пп Щ= 0 (га — 1,2, . . .) она обращается в нуль.