Динамические системы в плоской области (стр. 12 из 13)
при 
и 
1 при 
Отсюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 20. Второе из уравнений (60) показывает, что если траектория проходит через точку
М0(
0, 
0)при t= t0, то
= t + ( 0 — t0)Состояние равновесия О (0, 0) так же, как и в случае линейной системы (45) примера 4, является фокусом, причем неустойчивым.
Траектория х2 + у2 — 1 = 0 (в отличие от того, что было в примере 6) не окружена замкнутыми траекториями. Она сама является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при t
. Такая замкнутая траектория называется предельным циклом. 
Подчеркнем, что на каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, tизменяется от конечного значения
до + 
Это можно выразить, сказав, что при убывании tточка на такой траектории уходит на бесконечность в конечное время. Таким образом, траектории, лежащие вне предельного цикла, не являются целыми. Напротив, все траектории, лежащие внутри предельного цикла, очевидно, являются целыми, т. е. tна них меняется от
до 
. Направление на траекториях может быть установлено непосредственно из системы.Так, например, при х = 0 и у > 0 мы имеем
< 0, т. е. в точках оси у с возрастанием t 
х убывает. Этого, очевидно, достаточно для определения направления на всех траекториях рассматриваемой системы.Пример8
(62)Система имеет два состояния равновесия О(0, 0) и А (4, 0). Система, очевидно, имеет аналитический интеграл
— 6x2 
x3 = C. (63)Характер семейства кривых (63) нетрудно установить, рассматривая вспомогательное семейство кривых:
и = 6х2 — х3+ С.(64)
Так как у =
, то семейство кривых (64) имеет вид, представленный на рис. 21. a, а семейство кривых (63) — вид, представленный на рис. 21, б. Состояние равновесия О (О, 0) лежит на интегральной кривой (63) при С = 0. Эта интегральная кривая состоит из четырех траектории состояния равновесия О, двух незамкнутых траекторий, одна из которых стремится к О при t 
, а другая при t и «петли», стремящейся к состоянию равновесия О как при t , так и при t .Нетрудно убедиться в том, что состояние равновесия А (4, 0) принадлежит кривой (63), соответствующей С = —32. Эта кривая состоит из одной ветви и изолированной точки-состояния равновесия А. Остальные интегральные кривые не содержат состояний равновесия. При С < —32 кривая (63) имеет одну ветвь, расположенную левее бесконечных ветвей кривой (63) при С = 0. Если —32 < С < 0, то соответствующая кривая (63) состоит из двух ветвей, одна из которых есть замкнутая кривая (овал), содержащая точку А внутри себя. Наконец, при С > 0 кривая состоит из одной ветви (расположенной справа от кривой (63) при С = 0). Каждая ветвь интегральной кривой (при С
0) является траекторией.Состояние равновесия А является центром (см. пример 5). Состояние равновесия О — седло, стремящиеся к нему при t
или t траектории — сепаратрисы седла (см. пример 6).Заметим, что сепаратрисой седла называется не траектория, а полутраектория. При этом, говоря о сепаратрисах, стремящихся к седлу, мы не считаем различными сепаратрисы, из которых одна является частью другой (например, С10 и С20 на рис. 22). С этой точки зрения в рассматриваемом примере к седлу стремится 4 сепаратрисы. Две из этих сепаратрис принадлежат одной и той же траектории —«петле».
Направление на траекториях может быть установлено, если, например, в первом уравнении (62) положить х = 0, у > 0. Мы получаем
что позволяет определить направление на траекториях (рис. 21, б).
Пример 9
(65)Поле системы (65) может быть получено, если поле системы (62) повернуть на постоянный угол
такой, что tg = а. Следовательно, траектории системы (65) ни в одной точке не касаются траекторий системы (62). В частности, замкнутые траектории системы (62) являются циклами без контакта для траекторий системы (65).Для определенности предположим, что угол
< 0. Тогда всякая траектория системы (65), пересекающая при t= t0какую-нибудь замкнутую траекторию системы (62) при t , стремится к состоянию равновесия (А), а при возрастании tвыходит из области, заполненной замкнутыми траекториями.Состояние равновесия О (0, 0) системы (65) является так же, как у системы (62), седлом. Однако расположение сепаратрис седла у системы (65) (рис. 22) отличается от расположения сепаратрис системы (62).
И можно сказать, что сепаратриса системы (62) после поворота поля, т. е. после перехода к системе (64), «разделяется» на две сепаратрисы.
Сепаратрисы Lсистемы (65), лежащие слева от оси у, расположены аналогично сепаратрисам системы (62).
Пример 10
Приравнивая нулю правые части, мы находим состояния равновесия системы
О (0, 0), F1(—1, 0), F2(1, 0)
Легко убедиться, что
(67)есть общий аналитический интеграл системы (66).
Исследование системы кривых ((57) легко провести полностью аналогично тому, как это было сделано в примере 8. Пользуясь вспомогательным семейством кривых
, (68)нетрудно построить семейство кривых (67) (рис. 23). Интегральная кривая
состоит из трех траектории — двух петель nсостояния равновесия 0(0, 0). При С > 0 каждая кривая (67) представляет собой одну замкнутую кривую (овал), при С < 0 — два овала. Каждый из овалов является траекторией. При С =
1 мы получаем две изолированные точки — состояния равновесия F1и F2 .Состояние равновесия О
седло, состояния равновесии F1 и F2— центры. 
Рис. 22 Pис. 23
Пример. 11
(69) 
Легко видеть, что векторное поле системы (69) повернуто но отношению к векторному полю системы (66) примера 10 на острый угол, тангенс которого равен
( — 2х2 
х4). Далее, непосредственно проверяется, что соотношение(
— 2х2 х4) = 0(70)является интегралом системы (69). Поэтому кривая (70), представляющая интегральную кривую системы (66), является также интегральной кривой системы (69).