Динамические системы в плоской области (стр. 10 из 13)

Рассмотрим еще интерпретацию решений системы (40), т. е. интегральные кривые системы (40) в трехмерном пространстве ℝ³с координатами х, у, t. Из формул (41) следует, что интегральными кривыми системы (40) в пространстве (х, у, t) являются

Рис. 10.

1) ось t, т. е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (41) при х₀ = у₀ = 0); она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;

2) показательные кривые

расположенные в координатных полуплоскостях х > 0, у = 0 или х < 0, у = 0 и асимптотически стремящиеся к оси tпри

, если а₁ < 0 (рис. 11, а), и при , если а₁ > 0; эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

3)показательные кривые

х = 0,

аналогичные кривым типа 2);

4) кривые

(х_о 0, у_о 0),

расположенные на параболических цилиндрах

,(С 0)

с образующими параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой цилиндр на две «половины» и каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси tпри t

, если a₁ < 0, а₂ < 0 (рис. 11, б), при , если a₁ > 0, a₂ > 0.Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси t. To же справедливо для интегральных кривых типа 2)или 3)

а)б)

Рис.11

Пример 4

(45)

(а — отличная от нуля постоянная).

Векторное поле, определенное этой системой (при а<0), изображено на рис. 12.

Решая систему (45) как линейную систему с постоянными коэффициентами, мы получим решение, соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀в следующем виде (оно, очевидно, является функцией t— t₀в согласии с леммой 3):

(46)

Рис.12

Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать, переходя к полярным координатам. Пусть

₀и ₀— полярные координаты точки М₀ (х₀, у₀). Полагая х = cos , у = sin , нетрудно найти уравнение траекторий = (t), = (t) в полярных координатах (здесь (t), (t)—непрерывные функции от t, (t) > 0, . (t₀) = ). Мы получим после элементарных вычислений

(47)

Исключая t, получаем

(48)

Уравнение (48) дает, очевидно, все траектории системы (46). Если

эти траектории являются логарифмическими спиралями. При = 0 получается состояние равновесия О (0, 0).

Первое из двух уравнений (47) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия О при

, если а <0 (рис. 13, а), и при , если а > 0 (рис. 13, б). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчивым в случае а<0 и неустойчивым при a > 0.

Уравнение

соответствующее системе (45), является однородным. Интегрируя его с помощью подстановки

= и или = и, мы получим соотношение

(49)

(50)

Первое из соотношений является общим интегралом системы (в смысле п. 13) во всякой области, не содержащей точек оси у (т. е. точек х = 0), а второе — во всякой области, не содержащей точек оси х. Однако, ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (49) и (50).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось tявляется интегральной кривой системы (45) в пространстве (х, у, t). Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спирали (48), а образующими — прямые, параллельные оси t. Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси tпри

t

, если а < 0, и при t , если а > 0

Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при a₁< 0, а₂ < 0 и а < 0 (a₁> 0, а₂ > 0 и а > 0) соответственно существенно отличаются, но в некотором смысле поведение траектории в том и в другом случае одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t

(или t ) стремятся к состоянию равновесия.

а) б)

Рис. 13

Впоследствии, уточнив понятие «качественной структуры» разбиения на траектории, мы будем считать в примерах 3 и 4 «качественную структуру» разбиения на траектории одинаковой.

Пример 5

Эта система получается как частный случай системы (45) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям t₀, x₀, у₀, имеют вид

х = х₀cos(t—t₀) —у₀sin(t—t₀) (52)

у= x₀ sin (t —t₀) + y₀ cos (t — t₀).

Непосредственной проверкой (или используя (52)) нетрудно убедиться, что является общим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.

х² + у² = С(53)

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия О (0, 0) и замкнутые траектории — концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 14). Решения (52), соответствующие замкнутым траекториям — окружностям, являются периодическими функциями с периодом 2

.

Рис. 14

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (x, у, t) являются ось tи винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (53). Шаг каждой винтовой линии равен 2

(рис. 15).

Пример 6

Рис. 15

Векторное поле изображено на рис. 16.

Решение системы, соответствующее начальным значениям t₀, х₀, у₀, имеет вид