Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку (стр. 2 из 6)
Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.
Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо
(1.26)Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).
Одержимо два співвідношення, що зв'язують параметри a, b, d, a2, b1, b2:
.Нехай
і 
(1.27)З першого рівняння системи (1.27) одержимо
Підставляючи
в друге рівняння системи (1.27), знайдемо 
.Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
(1.28) (1.29) 
(1.30) 
, 
, 
, 
, 
(1.31)Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) - (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1
(1.32)a2
(1.33)a3
(1.34)s
(1.35)b
(1.36)g
(1.37)d
(1.38)Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) - (1.31).
Нехай
(1.39)З першого рівняння системи (1.39) знайдемо
, 
.Підставляючи
в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність: 
(1.40)Оскільки
, те розглянемо два випадки: 
, тоді 
.Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
, , 
(1.41) , , 
, , (1.42)Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
a1
(1.43),a2 
(1.44)a3
(1.45), s 
(1.46)(=0 (1.47)
g
(1.48),d
(1.49)Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) - (1.42).
б)
(1.50), 
(1.51)З (1.50) знайдемо
: 
Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) - (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:
, 
- будь-яке число, 
(1.52) , , , 
, 
(1.53)Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):
(1=0 (1.54), a2
(1.55)a
(1.56)s
(1.57)b
(1.58)g
(1.59)d
(1.60)Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) - (1.53).
2. Якісне дослідження побудованих класів систем
2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)
Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що
, 
, 
.Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:
(2.1)Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:
(2.2) 
(2.3)Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:
(2.4)З (2.4) одержуємо, що
, 
, 
, 
.Ординати крапок спокою мають вигляд:
, 
, 
, 
.Отже, маємо крапки
, 
, 
, 
.