Моделювання на ЕОМ випадкових величин і випадкових процесів (стр. 2 из 3)

Введемо систему таких підмножин

, щоб їх можна було розглядати як повну групу незалежних подій на . При цьому повинні задовольнятись умови ; ; . Визначимо ці підмножини так

, (5)

де

і - це межі інтервалів, які визначаються за формулою

, причому . (6)

Зважаючи на те, що БВВ розподілена рівномірно на інтервалі

, імовірності підмножин визначаються через щільність розподілу БВВ відповідним спввідношенням

. (7)

Це означає, що імовірність попадання значення БВВ в інтервал

дорівнює довжині цього інтервалу (рис.3).

Рисунок 3 - Геометричне пояснення моделювання групи незалежних подій з допомогою БВВ

Таким чином, моделювання ВВ

, яка приймає дискретні значення, полягає у виборі значення БВВ за допомогою генератора, перевірки попадання значення БВВ до однієї з підмножин і винесенні рішення про те, що модельоване ВВ приймає значення

, (8)

де

- це характеристична функція множини. (9)

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом обернених функцій

Розглянемо моделювання ВВ

із заданою щільністю ймовірності та функцією розподілу

. (10)

Якщо функція

є строго монотонно зростаючою, то із рівняння можна знайти обернену функцію

. (11)

Підставивши замість

БВВ , можна одержати алгоритм моделювання ВВ із заданим розподілом:

. (12)

Таким чином, для моделювання на ЕОМ ВВ

із заданою щільністю ймовірності, потрібно виконати такі операції:

знайти функцію розподілу, користуючись заданою щільністю ймовірності;

знайти функцію, що буде оберненою до функції розподілу;

одержувати реалізації БВВ

;

обчислювати значення ВВ

як значення знайденої функції .

Виконуючи ці операції

- разів, одержимо вибірку реалізацій . Скориставшись нею, можна побудувати гістограму розподілу і порівняти її з заданою щільністю ймовірності.

Даний метод моделювання має недоліки тому, що не завжди вдається аналітично розрахувати для заданої щільності ймовірностей

інтеграл для одержання , і не для всякої функції розподілу вдається одержати обернену функцію.

Моделювання випадкових величин із заданими щільностями імовірностей методом суперпозиції

Цей метод базується на зображенні складних щільностей ймовірностей

через простіші. Зокрема, можна подати будь-яку щільність ймовірності випадкової величини у вигляді суміші простих розподілів

, (13)

де

- деякі коефіцієнти, причому , а - щільності розподілу ВВ, для яких досить просто виконати моделювання на ЕОМ.

В основі моделювання лежить такий математичний апарат. Нехай існують ВВ

і незалежні між собою і задані на тому самому імовірнісному просторі . Нехай - це функція розподілу ВВ і - це умовна щільність ймовірності ВВ за умови, що ВВ прийняла якесь значення

. (14)

Тоді безумовна щільність ймовірності ВВ

. (15)

Припустимо, що

- це ВВ, яка приймає дискретні значення з імовірностями

. (16)

У цьому випадку

, отже приходимо до раніше наведеної суміші розподілу. У ролі щільностей ймовірності найпростішого типу можуть виступати: гаусові, прямокутні, трикутні розподіли.

На рис.6 для прикладу показано, як за допомогою гаусових розподілів апроксимується щільність розподілу складнішого виду

(17)

Рисунок 6 - Апроксимація складної щільності ймовірності за допомогою гаусових розподілів

Таким чином, алгоритм моделювання ВВ методом суперпозиції містить у собі такі етапи:

вибір вигляду найпростішої щільності розподілу, за допомогою якої апроксимується задана щільність ймовірності;

моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретні значення

з заданими імовірностями ;

для отриманого значення i моделюються реалізація ВВ з

-тою щільністю ймовірності;

з нову моделюється реалізація ВВ, яка приймає дискретні значення

;

потім виконується процес моделювання реалізації ВВ із новим номером щільності ймовірності;

зазначені етапи моделювання повторюються доти, доки не буде отримана вибірка реалізацій ВВ необхідного обсягу.

Моделювання гаусових випадкових величин методом сумації

Введемо стандартну гаусову ВВ

із нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією

, (18)

де

- символ гаусової щільності ймовірності.