Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 8 из 13)
F(
, 0, 
,z)= 
zk= 
=1,тому що
=0(0+1)(0+2)…....(0+k-1)=0.F(
, -2, ,z)= 
zk= 
z0+ 
z+ 
z2 ==1-2
z+ 
z2,тому що
=1, 
=-2, 
=(-2)(-1)=2, 
=(-2)(-1)0=0, 
=(-2)(-1)01=0і так далі.
Перетворення
F(
, 
, ,z)=(1-z 
F( - , - , ,z) - =0 
= показує, що гіпергеометрична функція при
- =0,-1,-2,…або - =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,F(
, , ,z)= (1-z 
, 
(3.1)Надаючи параметрам
, спеціальні значення, знаходимо(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)
(1-z
= F( 
, 1, 1,z (3.2)(1-z)n= F(-n,
, ,z)n=0,1,2,...
Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням
ln(1-z)= -
=-z 
<1звідки треба
ln(1-z)=-zF(1,1,2,z)
(3.3)Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:
arctg z=zF(
,1, 
,-z2) 
(3.4)arcsin z=zF(
, , ,z2) 
arctg z=
(-1)k 
=z 
=z 
==z
=z 
=z 
=zF( ,1, ,-z2),тому що
=1*2*…*k=k!arcsinz=z+
=z[1+ 
]==z[1+
]=z[1+ 
]=z[1+ 
]==z[1+
]=z[1+ 
=zF( , , ,z2)...3. Вироджена гіпергеометрична функція
Поряд з гіпергеометричною функцією F(
, , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд
де z – комплексне змінне,
і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ 
позначає величину = 
=1