Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 7 из 13)

z^k+s=

=

( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))- ( z^k+s(k+s)(k+s-1))+ ( z^k+s-1 (k+s))-

-

z^k+s( + +1)(k+s))- z^k+s =

=

z^k+s-1(k+s)(k+s-1+ )- z^k+s(s+k+ )(s+k+ )=0,

звідки для визначення показника s і

виходить система рівнянь

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,

k=1,2,...,

перше з яких дає s=0 або s=1-

Припустимо, що

0,-1,-2,…і виберемо s=0

Тоді для обчислення коефіцієнтів

одержимо рекурентне співвідношення

= k=1,2,…,

звідки, якщо прийняти

=1, треба

= k=0,1,2,…,

де для скорочення запису уведене позначення

= ( +1)…( +k-1),

=1,k=1,2,…,

У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при

0,-1,-2,…буде

u=

= F( , , ,z)= z^k, <1 (2.18)

Аналогічно, вибираючи s=1-

одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…

= k=1,2,…,

звідки, якщо взяти

=1 знаходимо

=

k=0,1,2,...,

Таким чином, при

2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення

u=

= = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)

<1,

Якщо

не є цілим числом ( 0, 1, 2,…),те обоє рішення (2.18-2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі

u=A F(

, , ,z)+B F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.20)

де А и В довільні постійні

<1,

2. Подання різних функцій через гіпергеометричну

Гіпергеометрична функція F(

, , ,z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,