Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 11 из 13)

=[

- ]+ [k + -k- ] 0.

Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що

, і виконаємо підстановку .

Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду

z

+( -z) - =0

с новими значеннями параметрів

=1+ , =2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо

0, 1, 2,…обоє рішення ( ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді

u= F(

, ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім

=0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду

G

, ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z)(5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) визначає функцію G

, ,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)

G

, ,z)= [ - ]=

=

( )

Ми маємо

= =

n=0,1,2,…

= = =

=

,

тому вираження в правій частині (5.4) при

n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо

G(

, ,z)= G , ,z)= (-1)ⁿ⁺¹[ ] (5.5)