Новый метод решения кубического уравнения (стр. 5 из 5)

→ (x₂ + x₃)² + b( x₂ + x₃ ) + с - x₂∙ x₃ = 0 → (2 + 11)² - 20( 2 + 11 ) + 113 - 2∙ 11= 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

Три действительных корня и два одинаковых

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3x₁² + 2bx₁ +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x³ – 25x² + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x₁² + 2bx₁ +с = 0 → 3x₁² - 50x₁ + 203 = 0 → x_1,2 =

) → x₁ = , x₂ = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

X₁= X₂ = 7, X₃ = 11

Три действительных и одинаковых корня

В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x₁² + 2bx₁ +с = 0.

→ x_1,2 =

). При равенстве трех корней имеем = 0

→ x_1,2,3 = -

.

Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета

→ ( x₁ + x₂ + x₃ ) = - b. При x = x₁ = x₂ = x₃ → 3 x = - b → x = -

.

Пример 12 Дано уравнение

x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значениеD₁ = -

-→D₁ = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188

-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙

2. Пусть h²=

→

= [(g₁ - g₂ )² - h² ]² ∙ h² → [(g₁ - g₂ )² + h² ]² = 36 →[(g₁ - g₂ )² - h² ] = ± 6

→ (g₁ - g₂ )² = - 6 +

= → g₁ - g₂ = ± .

Второе уравнение ( x₁ + x₂ + x₃ ) = - b→ (g₁ + g₂ + h + g₂ – h) = - b→ g₁ + 2g₂ = 24

Таким образом, имеем два уравнения g₁ - g₂ = ±

и g₁ = 24 - 2g₂ .

→ 24 - 2g₂ - g₂ = ±

→ g₂ = = →g₂= →g₁ = 24 - 2g₂→g₁ = 24 – 17→g₁ = 7

→ X₁ = 7, X₂ =

( 17 + ), X₃ = ( 17 - )

Задача решена!

Внимание! В данном примере имеет место множитель

в значениях X₂ и X₃. Этот случайобусловлен следующим

1. Разделим исходное уравнение x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 на (x – 7)

→

= - x² + 17x – 64→ x³ – 24x² + 183x – 448= (x – 7)∙( x² - 17x + 64)=0.

кубическое уравнение формула кардан

2. В уравнении x² - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙

.

Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.

E- Mail: fgg-fil1@narod.ru