Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 8 из 16)

Рішення. Це рівняння містить більше одного модуля.

Метод рішення рівнянь, що містять змінні під знаком двох і більше модулів, полягає в наступному.

1. Знайти значення змінної, при яких кожний з модулів звертається в нуль:

;

2. Відзначити ці крапки на числовій прямій.

3. Розглядаємо рівняння на кожному із проміжків і встановлюємо знак виражень, які перебувають під модулями.

1) При

або

. Щоб визначити знак кожного з виражень під модулем на цьому проміжку, досить взяти будь-яке значення

із цього проміжку й підставити у вираження. Якщо отримане значення негативно, виходить, при всіх

із цього проміжку вираження буде негативним; якщо отримане числове значення позитивно, виходить, при всіх значеннях

із цього проміжку вираження буде позитивним.

Візьмемо значення

із проміжку

й підставимо його значення у вираження

, одержуємо

, значить на цьому проміжку

негативно, а отже ``вийде'' з під модуля зі знаком ``мінус'', одержимо:

При цьому значенні

, вираження

одержить значення

, виходить, воно на проміжку

також приймає негативні значення й ``вийде'' з модуля зі знаком ``мінус'', одержимо:

Вираження

одержить значення

й ``вийде'' з під модуля зі знаком ``мінус'':

Рівняння на цьому проміжку вийде таким:

, вирішуючи його, знаходимо:

З'ясовуємо, чи входить це значення в проміжок

. Виявляється входить, значить

є коренем рівняння.

2) При

. Вибираємо будь-яке значення

із цього проміжку. Нехай

. Визначаємо знак кожного з виражень під модулем при цьому значенні

. Виявляється, що вираження

позитивно, а два інших негативні.

Рівняння на цьому проміжку прийме вид:

. Вирішуючи його, знаходимо

. Це значення не входить у проміжок

, а виходить, не є коренем рівняння.

3) При

. Вибираємо довільне значення

із цього проміжку, скажемо,

і підставляємо в кожне з виражень. Знаходимо, що вираження

позитивні, а

--- негативно. Одержимо наступне рівняння:

Після перетворення, одержимо:

, а виходить, рівняння не має корінь на цьому проміжку.

4) При

. Неважко встановити, що всі вираження на цьому проміжку позитивні, а значить одержимо рівняння:

що входить у проміжок і є коренем рівняння.

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь.

Використання тотожності

, при рішенні рівнянь

Зі сформульованої властивості модуля можна вивести два корисних наслідки:

Проілюструємо застосування першого з них для рішення задачі вступного іспиту в Санкт-Петербурзький державний університет.

Приклад Зобразити графік функції

Рішення. Перепишемо функцію, що задає, вираження, використовуючи перший наслідок:

Залишилося тільки побудувати графіки функцій

в одній системі координат і визначити ділянки, на яких один з них вище іншого (див. мал. (??)).

Використання другої тотожності зручно для побудови графіка функції

Рішення. У силу другої тотожності, вираження, яке задає функцію, записується у вигляді:

Шуканий графік зображений на малюнку (див. мал. (??)).

Приклад Знайдіть максимальне значення вираження

де

, ...,

--- різні натуральні числа від 1 до 1990.

Рішення. Помітимо, що модуль різниці двох ненегативних чисел не більше їхнього максимуму. Тому

не більше, ніж

. Далі, дане вираження не може рівнятися 1990, оскільки парність цього вираження збігається з парністю суми

. Нарешті приведемо приклад, що показує, що значення вираження може рівнятися 1989: