Рішення рівнянь із параметрами (стр. 2 из 2)

Відповідь: 0.

5. При яких значеннях параметра а число корінь рівняння

² - х = 0 дорівнює а?

Рішення: побудуємо ескіз графіка функції, в =

² - х при цьому врахуємо, що функція в – парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правої частини ( х ≥ 0). Також урахуємо, що тричлен х² - 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4 – мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола

в = х² - 8х + 7 з мінімумом у_мін рівним - 9 при х _хв = 4, і коріннями х₁ = 1 і х₂ = 7;

суцільними лініями зображена частина параболи в =

² – 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним відбиттям щодо осі 0х частини параболи

х² - 8х + 7 при 1 < х < 7.

(Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у).

Проводячи горизонталі в = а, а

N, одержуємо k крапок її перетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:

а	0	[1; 6]	7	8	9
к	4	8	7	6	4	2

Таким чином, а = k при а = 7.

Відповідь: 7.

6. Указати значення параметра а, при якому рівняння

х⁴ + (1 – 2а)х² + а² – 4 = 0 має три різних корені.

Рішення: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.

Корінь заданого рівняння рівні:

х =

Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) =

. Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) = (2а – 1)² = 17 – 4а

4а² – 4а +1 = 17 – 4а

а = 2.

Відповідь: 2.

Указати ціле значення параметра p, при якому рівняння

cosx – 2sinx = + має рішення.

Рішення: р ≥ 0; 2 – р ≥ 0

р ≤ 2; поєднуючи припустимі значення параметра р, маємо:

0 ≤ р ≤ 2.

При р = 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2

х належить порожній множині ( у силу обмеженості синуса).

При р = 1 вихідне рівняння приймає вид:

cosx-2sinx =

+1.

Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить

= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =

sin (arctg(-2)) =

, cosx – 2sinx = , що менше +1.

Отже, при р = 1 рівняння рішень не має.

При р = 2 вихідне рівняння приймає вид

.

Максимальне значення різниці

становить при х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ). Оскільки > +1, то рівняння = буде мати рішення.

Відповідь: 2.

8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння

не має рішення.

Рішення: х ≠ 0, n ? 10.

Рівняння х² – 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0

n² -10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.

У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.

Відповідь: 6.

9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння

(0 < х < ) має рішення.

Рішення: за умовою 1 > sinx > 0

1 < < + ,

1 > cosx > 0

1 < < + ,

Отже, 2 < а < +

.

Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:

= а2

= а²

= а².

Уведемо змінну z =

. Тоді вихідне рівняння прийме вид:

z² + 2z – а² = 0. Воно має рішення при будь-якому а, оскільки його дискримінант

D = 1 + а²позитивний при будь-якому а.

З огляду на, що 2 < а < +

, містимо, що найменше ціле значення параметра а, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.

Відповідь: 3.

Висновок

Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями » і якоюсь мірою одержали нові.

По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.

Література

1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002.

2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р.

3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.

4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.

5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004

6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.