Евклідова і неевклідова геометрії (стр. 10 из 14)
в) Скалярний добуток двох векторів 
,
у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом П. Вектори , називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.Як і раніше число П називається скалярним квадратомвектора ; корінь квадратний з П якого називається довжиною вектора й позначається через | |.Таким чином,
,Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими й тимчасовими.
Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.
Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори
якої одиничні або взаємно перпендикулярні.Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад,
буде одиничним, а іншої – мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями 
. (3.5)Очевидно, скалярний добуток двох векторів
і квадрат довжини вектора 
в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду
(3.6) 
(3.7)За відстань між двома крапками M(х1, х2) і N(y1, y2) визначенню приймається довжина вектора
:d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.
Величиною кута між векторами й
називається число, певне по формулі 
(3.8)У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах ,
може бути позитивним і негативним.Якщо вектори ,
однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те 
, якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то 
.Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів і
будуть відповідно (х1, х2) і (в1, в2) у деякій прямокутній системі координат, те 
.Отже, якщо вектори ,
одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те 
. (3.9)Думаючи в цьому випадку
, одержимо 
. (3.10)У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.
г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.
Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань r; величина r називається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1, х2) даної окружності задовольняють рівнянню
.У цій геометрії існує три типи окружностей - окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евклідової геометрії бісектрисами координатних кутів, окружності речовинного радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох1і окружність чисто мнимого радіуса - гіперболами, що перетинають вісь Ох2.
д) На закінчення розглянемо коротенько руху в псевдоевклідової площини. Рух визначається як перетворення, що відповідають крапки якого мають ті самі координати щодо вихідної й довільно заданої прямокутних систем координат. Як і в евклідовій геометрії доводиться, що рух є ізометрією й, обернено, усяка ізометрія є рухом. Ізометрія визначається як перетворення, що зберігає відстань між двома довільними крапками. Як і в геометрії евклідової площини, руху можна розділити
на власні рухи - руху з визначником
= 1 і невласні - руху з визначником = - 1. Але тепер кожну із цих сукупностей у свою чергу можна розділити на дві сукупності. Щоб переконатися в цьому, відзначимо попередньо наступні два зауваження.По-перше, ясно, що просторові, тимчасові й ізотропні вектори при рухах залишаються відповідно просторовими, тимчасовими й ізотропними.
По-друге, при безперервних обертаннях навколо даної крапки вектори ізотропного конуса відокремлюють у цій крапці тимчасові вектори від просторових.
Перейдемо тепер до подальшого поділу на частині рухів псевдоевклідової площини. Неважко бачити, що у формулах
(3.11)визначальне обертання, величина
не звертається в нуль. Справді, припустимо, що в (3.11) коефіцієнт рівняється нулю. У такому випадку просторовий вектор {1, 0} при обертанні (3.11), перейшов би у вектор {0, 
}, що є тимчасовим, що неможливо. Таким чином, при змінах координатних векторів 
, викликуваних безперервними обертаннями, коефіцієнт 
буде постійним.Отже, всі рухи діляться на чотири типи залежно від значення визначника перетворення
= 1 або = - 1 і знака > 0 або < 0.Представниками цих чотирьох типів будуть, наприклад, руху з матрицями:
