Общий курс высшей математики (стр. 3 из 4)

Ответ:

Задание 50

Найти производную функции

а)

Решение:

при решении будем применять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

=

= =

=

б)

+

+ = + =

=

+ = +

в)

Решение:

г)

= =

= -

= - = -

-

= -

= =

Задание 73

Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln

в точке x1 заменив приращение функции в точке х₀ = 0 ее дифференциалом. Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013

Решение:

Если приращение аргумента ∆х = х₁ – х₀ достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x₁) – f (x₀) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула

f (x₀ + _∆x) ≈ f (x₀) + f^/ (x₀) _∆x.

Для вычисления приближенного значения функции у = ln

в точке х₁ = 0,013 вычислим производную этой функции в точке х₀ = 0:

f^/ (x) =

= =

= =

f^/ (x) = f^/ (0) =

= =-1

Подставив в формулу получим; f(0,013)

=-0,013

Ответ: -0,013

Задание 96

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение

1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение

f (x) =

в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.

2. Как элементарная функция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.

3. Найдем все асимптоты графика данной функции.

Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси формула

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ +∞ вычислим следующие два предела k = limy/xи b = lim (y – kx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + bявляется наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x)

Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество √х² = |х| (1), из которого следует, что при x > 0 √х² = х ,

а при х < 0 √х² = -х или х = -√х² (2)

Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х², затем воспользуемся равенством (1) и основными свойствами предела:

k=

= = = = =

= =0

Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:

b =

(y – kx)= y = = =

= = =3

Следовательно, прямая у = 3 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞.

Для отыскания наклонной асимптоты при х→ -∞ вычислим пределы k₁ = limy/xи b₁ = lim (y – kx)

Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой при х→-∞