Нестандартные задачи по математике (стр. 4 из 9)

1.30. Множество М — множество точек пространства или множество троек <x, y, z> действительных чисел. Разрешены переходы

< x, y, z >- <y, x, z > и<x, y, z >- < x, z, y >. Пусть

f₁( x, y, z) = xyz,

f₂ (x, y, z) = ху + уz + zх,

f₃(x, y, z ) = х + у + z.

Доказать, что <f₁, f₂, f₃> — полная система инвариантов.

1.31. Множество М состоит из всевозможных наборов (или кортежей) <х₁, x₂, x₃, …, x_n> действительных чисел (n фиксировано). Разрешается менять местами любые два соседних числа. Найти полную систему инвариантов.

В отличие от задач 1 — 3, которые были просто задачами олимпиадного типа, упражнения 11—13 играют важную роль в алгебре многочленов. Инварианты в них интересны не для решения вопроса об эквивалентности (который ясен и без них), а сами по себе — как полезные функции.

1.32.Даны розетка с п дырками и электронная лампа с n штырями. Дырки занумерованы от 1 до n (рис. 9). Можно ли занумеровать штыри от 1 до n так, чтобы при любом включении в розетку один из штырей попадал в дырку со своим номером?

1.33. Многие знают «игру в 15»: в коробочке 4x4 лежат 15 шашек с номерами от 1 до 15; разрешается за один ход передвинуть в пустую клетку одну из шашек, соседних с ней. Можно ли превратить положение a в положение p (рис. 10)? Найдите для этой игры универсальный инвариант.

1	2	3	4	1	2	3	4
5	6	7	8	5	6	7	8
9	10	11	12	9	10	11	12
13	14	15	13	15	14

а p

1.34. На клетчатой доске 11x11 отмечено 22 клетки так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали отмечено ровно 2 клетки. Два расположения отмеченных клеток эквивалентны, если, меняя любое число раз вертикали между собой и горизонтали между собой, мы из одного расположения можем получить другое. Сколько существует неэквивалентных расположении отмеченных клеток?

1.35. Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящих рядом, причем это не должны быть портреты королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что, как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

1.36. Все целые числа от 1 до 2n выписаны в строчку. Затем к каждому числу прибавили номер того места, на котором оно стоит. Доказать, что среди полученных сумм найдутся хотя бы две, дающие при делении на 2nодинаковый остаток.

1.37. Вернемся к задаче 1 с фишками в круге и разрешим теперь двигать две фишки как в разные стороны, так и в одну сторону. Найти для этой задачи универсальный инвариант.

1.38. В таблице 3x3 расставлены числа +1 и -1. Разрешается менять знак одновременно у всех элементов строки или столбца. Докажите, что:

a) число орбит равно 16;

b) каждая орбита содержит ровно 32 элемента;

c) произведение всех чисел любого квадрата 2x2 в таблице является инвариантом;

d) произведения чисел в четырех квадратах, указанных на рисунке 11, образуют полную систему инвариантов.

Решать эти задачи можно в любом порядке; ясно, что одни помогают другим.

´	´	´	´
´	´
´	´

´	´	´	´
´	´
´	´

1.39. Вектор <а, b>, где a, b—целые числа, разрешается заменять одним из векторов <а + b, b>, <a—b, b>, <b, a>. Найти универсальный инвариант.

1.40. Пару векторов <а, b>, <с, d>, где а, b, с, d — целые числа, разрешается заменять на одну из пар <а+b, b>, <c+d, d>; <a - b, b>, <c – d, d>; <b, a>, <d,c>. Найти полную систему инвариантов.

2.Четность плюс инвариант

2.1.На доске написаны натуральные числа 1, 2, 3,…, 100. Разрешается стереть любые два числа и записать модуль их разности, после чего колличество написанных чисел уменьшается на 1. Может ли после 99 таких операций остаться записанным на доске число 1 ?

Решение .

Подсчитаем общую сумму начальных 100 чисел :

1 + 2 + 3 + …+ 100 = 5050.

Эта сумма оказалась четной . Переходя к следующему набору чисел , мы фактически в этой сумме заменяли сумму двух чисел на их разность. Но сумма и разность двух целых чисел имеют одинаковую четность, поэтому общая сумма записанных чисел останется четной. Следовательно , эта сумма равной 1 быть не может.

О т в е т : не может.

2.2. На доске написаны 8 плюсов и 11 минусов . Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс , если они одинаковы, и минус если они различны. Какой знак останется на доске после 18 таких операций?

2.3.На главной диагонали шашечной доски 10 на 10 стоят 10 шашек, все в разных клетках. За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?

2.4. На столе стоят вверх дном 7 стаканов. Разрешается за один раз перевернуть любые 4 стакана. Можно ли через несколько шагов поставить все стаканы в нормальное положение?

Решение.

Поставим в соответствии стакану, стоящему нормально, +1, а стоящему вверх дном, - 1. Инвариантом здесь будет произведение чисел, соответствующих всем 7 стаканам, так как при изменении знака у 4 сомножителей произведение не меняется. Но в начальном положении это произведение равно -1, а значит, стать +1 оно никогда не сможет.

2.5. На столе стоят 7 перевернутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

2.6. На столе стоят вверх дном 9 стаканов. Разрешается за один раз перевернуть любые 4 стакана . Можно ли за несколько таких ходов поставить все стаканы в нормальное положение?

2.7.Три кузнечика играют в чехарду : если кузнечик из точки А прыгает через кузнечика , находящегося в точке В , то он окажется в точке С , симметричной точке А относительно точки В. В исходном положении кузнечики занимают три вершины квадрата. Могут ли они ,играя в чехарду, попасть в четвертую его вершину?

Решение.

Введем на плоскости систему координат так, чтобы три вершины квадрата, в которых находятся кузнечики, имели координаты (0; 0),

(0; 1) и (1; 0). При указанных прыжках каждая из координат кузнечиков или остается неизменной, или изменяется в ту или иную сторону на четное число (рис 12) х

Так как в начальном положении

по меньшей мере одна из координат каждой из трех точек

четна , то она при прыжках останется четной: четность хо

тя бы одной из двух каждой из точек есть инвариант.

Поэтому попасть в М один из кузнечиков

не может Ответ: не может.

2.8.Имеется 30 карточек, каждая из которых выкрашена с одной стороны в красный, а с другой – в синий цвет. Карточки разложили подряд в виде полосы так, что у 8 карточек сверху оказался синий цвет. За один разрешается перевернуть любые 17 карточек. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы полоса стала полностью: а) красной; б) синей?

Задача 1: На доске написано десять плюсов и пятнадцать минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они одинаковы, и минус в противном случае. Какой знак останется, на доске после выполнения двадцати четырех таких операций.

Решение.

Заменим каждый плюс числом 1, а каждый минус числом —1. Разрешенная операция описывается тогда так: стираются любые два числа и записывается их произведение. Поэтому произведение всех написанных на доске чисел остается неизменным. Так как вначале это произведение равнялось —1, то и в конце останется число —1, то есть знак минус.

Это рассуждение можно было провести иначе. Заменим все плюсы нулями, а минусы—единицами, и заметим, что сумма двух стираемых чисел имеет ту же четность, что и число, записываемое вместо них. Так как

сначала сумма всех чисел была нечетной (она равнялась 15), то и последнее оставшееся на доске число будет нечетным, то есть единицей, и, значит, на доске останется минус.

Наконец, третье решение задачи можно получить, заметив, что в результате каждой операции число минусов либо не изменяется, либо уменьшается на два. Поскольку сначала число минусов было нечетным, то и в конце останется один минус.

Проанализируем все три решения.

Первое решение основывалось на неизменяемости произведения написанных чисел, второе—на неизменяемости четности их суммы и третье — на неизменяемости четности числа минусов. В каждом решении нам удалось найти инвариант: произведение написанных чисел, четность суммы, четность числа минусов. Решение последующих задач также основывается на удачном подборе инварианта.

2.9. На доске написано несколько плюсов и минусов. Разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс, если они различны, и минус в противном случае. Докажите, что последний оставшийся на доске знак не зависит от порядка, в котором производились стирания.