Элементы тензороного исчисления (стр. 5 из 7)
ароль векторов
играют 
.Рассмотрим теперь произвольное тензорное поле, например,
. Точка М может при этом пробегать всю область 
или только некоторую поверхность в ней, или даже линию в зависимости от того, где тензорное поле задано.Координаты тензора
можно вычислять относительно любого аффинного репера. Однако в дальнейшем мы всегда будем считать, что аффинное пространство (по крайней мере в пределах области ) отнесено к каким-либо криволинейным координатам 
. Тогда в каждой точке М возникает локальный репер, и координаты тензора мы будем брать относительно именно этого репера. Эти координаты мы будем кратко называть координатами тензора в данной системе криволинейных координат .Когда в дальнейшем мы будем говорить о тензорном поле
(76.9)то всегда будем подразумевать сказанное выше.
Если тензорное поле задано не во всей области
, а лишь на некоторой поверхности (линии), то в уравнениях (7.9) нужно задавать, конечно, как функции параметров этой поверхности (линии). Тензорное поле может выродиться и в задание тензора в одной только точке М.Вслед за преобразованием криволинейных координат происходит преобразование локального репера в каждой точке М, а значит, и преобразование координат тензора
по обычному тензорному закону: 
(7.10)При этом, как мы видели, матрица
совпадает с матрицей 
, а следовательно, обратная матрица 
- с матрицей 
: = . (7.11)Следовательно, закон преобразования (7.10) принимает вид
(7.12)Таким образом, переход от одних криволинейных координат к другим, влечет за собой преобразование координат тензорного поля
по закону (7.12). При этом частные производные 
по и обратно берутся в той же точке М, как и координаты тензора, что и отмечено в записи.§8. Примеры вычислений
Пример1(Динамика частицы)
В качестве простого приложения тензорного исчисления чуть переформулируем уравнения классической динамики материальной точки.
Второй закон Ньютона
в компонентах записывается как
(8.1)Откуда сразу видна его ковариантность по отношению к преобразованиям из группы О (3). Если силовое поле потенциально, то
(8.2)Умножая обе части (8.1) на
и свертывая по индексам, получим 
т.е.
(8.3)Вводя кинетическую энергию частицу
и элементарную работу силы 
, придем к теореме живых сил. 
(8.4)Инвариантной относительно ортогональных преобразований. Для потенциального стационарного поля сил из (8.4) и (8.2) имеем
Откуда следует закон сохранения энергии:
(8.5)умножая уравнение (8.1) с индексом k на координату
, умножая затем то же уравнение с индексом jна 
и производя вычитание, получим 
Или, после вынесения производной по времени,
(8.6)Чтобы выяснить смысл этого результата, свернем обе части (8.6)с символом
: 
Вспоминая определение векторного произведения, придем к теореме об изменении момента импульса частицы:
(8.7)Пример2(Момент инерции)
Момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости ω, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:
Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ω и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления ω и L, вообще говоря, не совпадают.
(8.8)Девять коэффициентов
называют тензором инерции. Кинетическая энергия Tдля любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент 
, 
и 
: 
(8.9)Мы можем воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е.
= 
.Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью vобладает кинетической энергией
, а полная кинетическая энергия равна просто сумме
по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью ω твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением
. Поэтому полная кинетическая энергия равна 
(8.10)Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать
через компоненты , , и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (8.9); приравнивая коэффициенты, найдем . Проделывая всю эту алгебру, мы пишем: