Математический анализ. Практикум (стр. 5 из 12)
3.1.3 Основные методы интегрирования
1. Использование свойств неопределенного интеграла.
Пример 29.
2. Подведение под знак дифференциала.
Пример 30.
3. Метод замены переменной:
а) замена
в интеграле
: 
,где
- функция, интегрируемая легче, чем исходная; 
- функция, обратная функции ; 
- первообразная функции 
.Пример 31.
б) замена
в интеграле вида: 
;Пример 32.
Пример 33.
4. Метод интегрирования по частям:
Пример 34.
Пример 35.
Возьмем отдельно интеграл
Вернемся к нашему интегралу:
3.2 Определенный интеграл
3.2.1 Понятие определенного интеграла и его свойства
Определение. Пусть на некотором интервале
задана непрерывная функция 
. Построим ее график. 
Фигура, ограниченная сверху кривой
, слева и справа прямыми 
и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.S – область – криволинейная трапеция.
Разделим интервал точками
и получим: 
Интегральная сумма:
Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c
: 
4. Если на отрезке
, то и 
5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:
6.
7. Интеграл в точке равен 0:
8.
9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда
, где 
, f(c) – среднее значение f(x) на [a,b]: 
10. Формула Ньютона-Лейбница
,где F(x) – первообразная для f(x).
3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла.
1. Непосредственное интегрирование
Пример 35.
а)
б)
в)
д)
2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.
Пример 36.
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пример 37.
а)
б)
в)
д)
3.2.3 Приложения определенного интеграла
| Характеристика | Вид функции | Формула |
| площадь криволинейной трапеции | в декартовых координатах |  |
| площадь криволинейного сектора | в полярных координатах |  |
| площадь криволинейной трапеции | в параметрической форме |  |
| длина дугикривой | в декартовых координатах |  |
| длина дуги кривой | в полярных координатах |  |
| длина дуги кривой | в параметрической форме |  |
| объём тела вращения | в декартовых координатах |  |
| объём тела с заданным поперечным сечением |  |
Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
и 
.