Математический анализ. Практикум (стр. 4 из 12)

Схематичный график данной функции:

21.

1)

2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные:

– наклонные асимптоты

4)

– функция возрастает.

5)

,

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

22.

1)

2) Функция общего вида

3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

– горизонтальная асимптота при

4)

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

23.

1)

2) Асимптоты.

– вертикальная асимптота, т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

Схематичный график данной функции:

24.

1)

2) Асимптоты

– вертикальная асимптота при , т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

3)

– функция убывает на каждом из промежутков.

Схематичный график данной функции:

2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:

1. Найти производную функции

.

2. Найти критические точки функции, в которых

или не существует.

3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее

и наименьшее .

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.

25.

на промежутке

1)

2)

– критические точки

3)

,

–

–

26.

на промежутке .

Производная не существует при

, но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .

2.5 Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Т.е. при раскрытии неопределенностей вида

или можно использовать формулу:

.

Примеры.

27.

28.

Глава 3. Интегрально исчисление

3.1 Неопределенный интеграл

3.1.1 Определения и свойства

Определение 1. Функция

называется первообразной для , если .

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение:

, где c- произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла:

2. Дифференциал неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала:

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:

;

5. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

3.1.2 Таблица интегралов