Математический анализ. Практикум (стр. 3 из 12)

Глава 2. Дифференциальное исчисление

2.1 Определение производной

Определение производной

Производная

или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

или .

Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

2.2 Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Умножение на постоянный множитель
Алгебраическая сумма двух функций
Произведение двух функций
Частное двух функций
Сложная функция

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	константа
2	степенная функция частные случаи
3	показательная функция частный случай
4	логарифмическая функция частный случай
5	тригонометрические функции
6	обратные тригонометрические функции

Пример 17

а)

б)

в)

2.3 Производные высших порядков

Производная второго порядка функции

Производная второго порядка функции

:

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции

.

Решение. Найдем сначала производную первого порядка

.

От производной первого порядка возьмем еще раз производную

.

Пример 19. Найти производную третьего порядка функции

.

Решение.

.

2.4 Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции:

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

- найти вертикальные асимптоты

, если ;

- найти наклонные асимптоты:

.

Если

любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью

:

- найти критические точки, те. точки в которых

или не существует;

- определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых

и убывания функции – ;

- определить экстремумы: точки, при переходе через которые

меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью

:

- найти точки, в которых

или не существует;

- найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых

и вогнутости – ;

- найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые

меняет знак.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

2.4.2 Примеры исследования функции:

20.

.

1)

2) Функция нечетная:

.

3) Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота

.

5)

– точка перегиба.