Использование обобщений при обучении математике в средней школе (стр. 4 из 7)
2. Обобщение часто может помочь решить задачу. Рассмотрим следующую стереометрическую задачу:
«Правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части». Задача эта может показаться сложной; однако достаточно небольшого знакомства с формой правильного октаэдра, чтобы прийти к следующему обобщению:
«Замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость, конечно, проходит через центр симметрии поверхности и определяется этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается решенной.
Конечно, нельзя не заметить, что вторая задача была более общей, чем первая, и, тем не менее, она оказалась проще. Нашим главным достижением при решении первой задачи было то, что мы придумали вторую задачу. Придумав вторую задачу, мы выяснили роль центра симметрии; мы выделили то свойство октаэдра, которое является существенным в данной задаче, именно – наличие у него центра симметрии.
Более общая задача может оказаться проще. Это звучит парадоксально; однако рассмотренный пример убеждает нас в истинности этого утверждения. Главное достижение при решении частной задачи состояло в том, что мы придумали общую задачу. После этого нам осталось совсем немного работы, чтобы довести задачу до конца.
Итак, в рассматриваем случае решение общей задачи явилось лишь общей частью решения частной задачи.
3. «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна
м, сторона верхнего 
м и высота пирамиды 
м ». Если числа , , мы заменим буквами, например 
, 
, 
, мы тем самым обобщим задачу, более общую по сравнению с первоначальной, именно:«Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна
, сторона верхнего и высота пирамиды ». Подобное обобщение может оказаться очень полезным. Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы приобретаем новые возможности; так, например, мы оказываемся в состоянии на данные величины как на переменные, что дает нам разнообразные возможности проверки результата.Взаимосвязь обобщения и анализа
Рассмотрим пример зависимости обобщения и анализа. Результаты действий (как практических, так и мыслительных) над какими-либо объектами обычно определяются взаимным соотношением этих объектов и их свойств. Действия как бы служат средством для проведения анализа, с помощью которого эти соотношения устанавливаются.
На одном из экспериментальных занятий учащимся была предложена следующая задача: «Доказать, что треугольники ABO и DCO, заключенные между диагоналями трапеции, равновелики» (рис. 3). Наряду с этой основной задачей учащимся была предложена и другая, вспомогательная задача, менее трудная для решения и вместе с тем такая, что ее решение и решение основной задачи было основано на одном и том же принципе. В этой вспомогательной задаче требовалось доказать конгруэнтность диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 4).
рис. 3 рис. 4
Убедиться в конгруэнтности диагоналей прямоугольника учащимся легко, так как по существу эта задача представляет собой известную учащимся теорему, восстановить ход доказательства которой нетрудно. После этого и основная задача была быстро решена учащимися, которые сумели осуществить мысленный «перенос» хода решения вспомогательной задачи на решение основной. Общим ключом к решению этой и другой задачи оказалось использование в ходе доказательства общего основания AD треугольников ABD и ACD, которое в первом случае выступало как общее основание равновеликих, а во втором – конгруэнтных треугольников ABD и ACD. Для отыскания решения основной задачи достаточно было установить равновеликость фигур ABD и ACD (связанных с треугольниками ABO и OCD). Достаточно было выделить это звено решения двух данных задач в качестве существенно общего свойства, т. е. совершить обобщение.
Таким образом, возможность обобщения и использования его результата – переноса – в процессе решения этих задач зависели прежде всего от мысленного включения обеих задач в единый процесс аналитико-синтетической деятельности. Успешное проведение обобщения (и переноса) было обусловлено тем, что на отдельных этапах анализа учащимися совершалось соотнесение условий основной задачи и задачи-подсказки. Результат процесса (перенос, использование задачи-подсказки) зависел, таким образом, от работы, проведенной учащимися в процессе анализа условия основной задачи. Это оказалось возможным потому, что объект изучения (основная задача) был включен в систему связей и отношений с другим известным объектом (вспомогательная задача).
Аналогичную ситуацию мы можем неоднократно наблюдать в процессе обучения математике в школе. Вернувшись к примеру с прогрессиями, нетрудно обнаружить ту же схему умственной деятельности школьника при правильно поставленной методике изучения этого вопроса. В самом деле, анализируя каждую из данных последовательностей отдельно (а затем совместно), школьник выявляет существенные свойства, общие для некоторых их этих последовательностей, свойства, позволяющие выделить их в особый класс – арифметических прогрессий и провести естественно вытекающее отсюда обобщение – сформулировать определение прогрессии.
Таким образом, обобщение с анализом являются мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи (вопроса) свойств.
ОБОБЩЕНИЕ КАК ПРИМЕР ВАРЬИРОВАНИЯ ПРИ ПОИСКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В современных условиях модернизации образования осуществляется обновление содержания и совершенствование механизмов обучения и контроля за качеством, что предполагает: принятие государственных стандартов общего образования; его разгрузку, ориентацию на потребности личности и современную жизнь страны; экспериментальную обработку нового содержания общего образования и т.д.
Говоря о творчестве в любой области деятельности человека, мы всегда обращаемся к понятию гибкости мышления, от активности формирования которого зависит темп обучения.
К числу способностей человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, Ю.М.Колягин относит:
- способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах (в частности, на объекте изучения или исследования);
- способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;
- способность из многообразия свойств изучаемого объекта выделить наиболее важные и существенные и в том случае, когда эти свойства существуют в скрытом виде;
- способность к открытию различных связей между объектами идеями, умение использовать логические связи для проверки достоверности сделанного вывода.
Вышеназванные способности у человека не появляются автоматически сами по себе. Одним из путей их формирования является обеспечение динамики внимания, которая осуществляется вариативностью упражнений. Это позволяет преподавателю управлять процессом внимания и ведет к формированию гибкости мышления обучаемых.
Из всех видов варьирования на занятиях по методическим дисциплинам наиболее видное место занимает варьирование содержания обучения математике, связанное с решением вопросов уровневой и профильной дифференциации обучения, что объясняется наибольшей разработанностью данного вопроса исследователями.
Нас будет интересовать варьирование условий задачи как один из способов её решения. Пути поиска решения задачи отражает Д.Пойа в своих работах, не называя термина «варьирование». Но именно этот термин обобщает его рекомендации в области поисков решения задачи.
В самом деле, поиски решения задачи начинаются с анализа условий (Что дано? Что неизвестно? В чём состоит условие?). Казалось бы, это – пустая формальность, и чтобы уяснить суть условия, достаточно внимательно прочитать задачу, может быть, не один раз. Между тем, это не так. Действительно, могут встречаться такие ситуации, когда условие задачи представлено в неявной форме, и тогда её данные могут быть записаны не полностью. Итог – «задача не решается».
Например, в геометрической задаче среди числовых данных встречается условие, когда выполняется движение фигуры. Это означает, что каждый отрезок данной фигуры перешёл в равный ему отрезок. Если представленную здесь часть условия «не заменить», то кажется, что не хватает данных для решения.