Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа (стр. 6 из 14)

Найдём значения

и .

При n= 1

При n = 2

Записываем окончательный ответ данного неравенства:

или

.

В рассмотренном примере решения простейших тригонометрических неравенств недостаток может быть только один – наличие определенной доли формализма. Но если всё оценивать только с этих позиций, то тогда можно будет обвинить в формализме и формулы корней квадратного уравнения, и всех формул решения тригонометрических уравнений, и многое другое.[11]

Предложенный метод хоть и занимает достойное место в формировании умений и навыков решения тригонометрических неравенств, но нельзя и преуменьшать важность и особенности других методов решения тригонометрических неравенств. К таковым относится и метод интервалов.

Рассмотрим его сущность.

1.5.2 Метод интервалов

Многолетний опыт преподавателей математики убеждает, что учащиеся, успешно решающие тригонометрические уравнения, часто испытывают серьезные затруднения при решении тригонометрических неравенств, допуская много ошибок в окончательном отборе решений, после того как выполнена основная часть работы. Ошибки появляются из-за невнимательности или в силу того, что учащиеся не поняли каких-то специфических особенностей неравенства. Не помогает и проверка. Она не всегда достаточна, для того чтобы обнаружить ошибку. К тому же при наличии в ответе одного-двух интервалов проверка утомительна, а при большем количестве интервалов техническая сложность проверки многократно возрастает.

В связи с этим разработан особый методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно разъяснять учащимся с помощью специально составленного алгоритмического предписания.

1. Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части (например, в правой) стоял ноль.

2. Определить нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.

3. Расставить на единичной окружности точки, являющиеся представителями всех найденных чисел.

4. Выбрать произвольное число

(значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел.

5. Провести луч

под углом к координатному лучу Ох.

6. На луче

получить контрольную точку . Для этого подставить число в левую часть неравенства и определить знак получившегося выражения.

Если выражение больше нуля, то

- это произвольная точка луча , лежащая вне единичной окружности.

Иначе

- это произвольная точка луча внутри единичной окружности.

7. Начиная с точки

провести плавную линию так, чтобы она пересекала единичную окружность во всех отмеченных точках последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку .

8. Выбрать нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:

Если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то выбрать участки фигуры, лежащие вне единичной окружности.

Иначе – выбрать те участки фигуры, которые расположены внутри единичной окружности.

9. Отметить стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам. Эти дуги соответствую множеству решений неравенства.

Проиллюстрируем данный метод интервалов решения тригонометрических неравенств.

Пример 1. Решите неравенство

.

Приведём левую часть неравенства к виду

и рассмотрим уравнение , которое равносильно совокупности уравнений: .

Первое из уравнений этой совокупности даёт I серию значений х:

,

Второе из уравнений совокупности приводит ко II серии

.

Далее заполним тригонометрическую окружность соответствующими точками. Для I серии достаточно взять

. Тогда значения соответственно равны (при остальных значениях n точки будут повторяться). Значения из серии на единичной окружности можно представить точками и , которые получены при n=0 и n=1.

Выберем теперь контрольную точку, положив

. Тогда .

Значит, в данном случае луч

совпадает с координатным лучом Ох (угол между ними равен нулю). Выберем на луче произвольную точку , находящуюся вне единичной окружности.

Соединим точку

со всеми отмеченными точками на единичной окружности так, как показано на рисунке

Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной окружности в тех областях, которые отмечены на рисунке знаком « + « . При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей (она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению

прибавить . Итак, окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:

, nÎZ

Заметим, что если волнообразную линию после обхода ею всех отмеченных на единичной окружности точек не удаётся вернуть в точку

, не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении допущена ошибка, а именно пропущено учётное количество корней.

Приведённый пример имеет одну особенность. Серии

и дают на единичной окружности несовпадающие точки. Если же некоторые точки разных серий совпадают, то будем называть их кратными. Точки, которые повторяются в чётном числе серий, будем называть точками чётной кратности, а те, что повторяются в нечётном числе серий, - точками нечётной кратности. Волнообразная линия, идущая от точки , после встречи с точкой нечётной кратности обязана перейти в иную область, т.е. если она находилась вне единичной окружности, то теперь будет внутри неё и наоборот. Но точка чётной кратности не даёт нашей линии возможности перейти в иную область. Поясним данный факт на конкретном примере:

Пример 2: Решите неравенство

Рассмотрим совокупность уравнений

Отсюда

На единичной окружности значения серии

представлены двумя точками 0 и . Серия даёт точки Из серии получаем точки Нанесём все эти точки на единичную окружность указав в скобках рядом с каждой из них её кратность.