Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа (стр. 5 из 14)

;

, т.к. это решение системы

Подставляя в формулу, получаем:

2.

, т.к. это решение системы

Подставляя в формулу, получаем

К сожалению, внимание учащихся нечасто обращается на преобразование выражения

.

В некоторых пособиях эта формула приведена в таком виде

где .

Такая запись приведёт к ошибке, если, например, a и b отрицательны.[10]

Выделенные виды тригонометрических уравнений представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения каждого вида.

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида

, , , можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток ( ), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: ( ). При этом значение находится легко, т.к. или . Поиск же значения опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1. Строим графики

и у = а, считая, что .

Затем записываем уравнение

и его решение . Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: . Значения являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков и у = а. очевидно, что всегда на интервале ( ) выполняется неравенство , а на интервале ( ) – неравенство .

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства

в виде: ; а во втором случае – решение неравенства в виде:

2. Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса

Только в отличие от синуса из формулы

, являющейся решением уравнения , при n = 0 получаем два корня , а третий корень при n = 1 в виде . И опять являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и . В интервале ( ) выполняется неравенство , в интервале ( ) – неравенство

Теперь нетрудно записать решения неравенств

и . В первом случае получим: ;

а во втором:

.

Подведём итог. Чтобы решить неравенство

или , надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: .

При решении неравенств

, из формулы корней соответствующего уравнения находим корни и , и записываем ответ неравенства в виде: .

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т.к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа aи его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство

. Составим соответствующее уравнение и решим его: